Очевидно, новая энергия связи, необходимая для установления нового вращения, которая аккумулируется в связующем теле, может быть изъята только из энергии прежнего окружного движения (Ек₁) в виде отрицательной работы центростремительной (центробежной) силы Ецсс (Ецб) на участке равном разности радиусов (Δr = r₂ - r₁). При этом отбор необходимой энергии осуществляется через истинную силу Кориолиса-Кеплера, которая является результирующей радиальной силы (Fr) и ньютоновской силы инерции поэлементной поддержки (Fипэп), устанавливающей новую связь путём ограничения радиального движения. Оставшаяся часть - это и есть энергия (Ек₂) нового окружного движения с новой линейной скоростью (V2).

Математически это можно выразить следующим образом:

Ек₂ = Ек₁ – Ецсс,

где

Ек₁ = m * V₁² / 2

Ецб = m * а_цс * Δr

Определим ЦСС (ЦБС). Начальное и конечное значения силы упругости связующего тела на удлинении (Δr) равно ЦСС для начальной и конечной линейной скоростью (V₁) и (V₂) соответственно. А поскольку сила упругости изменяется прямо пропорционально удлинению, т.е. линейно, то новая энергия связи, как мы отмечали выше, эквивалентна работе средней ЦСС (Fцсс_ср) со средним центростремительным ускорением, определяющимся средней линейной скоростью и средним радиусом.

Fцб_ср = m * (½ * (V₁ + V₂)) ² / ((r₂ + r₁)/2) =

= ¼ * m * (V₁ + V₂) ² / ((r₂ + r₁)/2) = ½ * m * (V₁ + V₂) ² / (r₂ + r₁)

Тогда работа средней ЦСС (Fцсс_ср) на участке (Δr = r₂ – r₁) равна:

Ецсс = Fцсс_ср * Δr = m * (½ * (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁)

С учётом значений (Ек₁) и (Ецсс) кинетическая энергия нового окружного движения, определяющаяся по формуле для удлиняющегося радиуса (Ек₂ = Ек₁ – Ецсс, см. выше) равна:

Ек₂ = m * V₂²/2 = m * V₁²/2 – m * (½ * (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁)

Покажем последовательные преобразования полученного выражения для (Ек₂), предварительно сократив его на множитель (m):

V₂²/2 = V₁²/2 – (½ * (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁);

V₂² = V₁² – (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁);

V₂² – V₁² = – (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁);

V₂² – V₁² = – (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₁ – r₂)) / (r₂ + r₁);

V₂² * r₁ + V₂² * r₂ – V₁² * r₁ – V₁² * r₂ = (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₁ – r₂)

V₂² * r₁ + V₂² r₂ – V₁² * r₁ – V₁² * r₂ = V₁² * r₁ + 2 * V₁* V₂ * r₁ +

+ V₂² * r₁ – V₁² * r₂ – 2 * V₁* V₂ * r₂ – V₂² r₂;

2 * V₂² r₂ – 2 * V₁² * r₁ – 2 * V₁* V₂ * r₁ + 2 * V₁* V₂ * r₂ = 0;

V₂² r₂ – V₁² * r₁ – V₁* V₂ * r₁ + V₁* V₂ * r₂ = 0;

V₂² r₂ + (V₁* r₂ – V₁* r₁) * V₂ – V₁² * r₁ = 0;

Последнее уравнение, полученное после преобразования и сокращения, представляет собой квадратное уравнение вида:

А * х² + В * х – С = 0,

где

х = V₂

Корни этого уравнения определяются по формуле:                     

х_1,2 = (– В ± √Д)  / 2 * А,

где дискриминант Д равен:

Д = В² + 4 * А * С

Определим Д:

Д = (V₁* r₂ – V₁* r₁)² + 4 * V₂² * r₂ * r₁ =

= V₁² * (r₂ – r₁)² + 4 * V₂² * r₂ * r₁ =

= V₂² * r₂ – 2 * V₂² * r₂ * r₁ + r₁² + 4 * V₂² * r₂ * r₁ =

= V₂² * r₂ + 2 * V₂² * r₂ * r_{1 +} r₁² = V₁² * (r₂ + r₁)²

Найдём корни:

V_{2 (1)} = (V₁ * r₁ – V₁ * r₂ + V₁ * (r₂ + r₁)) / 2 * r₂ =

= (V₁ * r₁ – V₁ * r₂ + V₁ * r₁ + V₁ * r₂) / 2 * r₂ = V₁ * r₁ / r₂

V_{2 (2)} = (V₁ * r₁ – V₁ * r₂ – V₁ * (r₂ + r₁)) / 2 * r₂ =

= (V₁ * r₁ – V₁ * r₂ – V₁ * r₁ – V₁ * r₂) / 2 * r₂ = – V₁ / 2

Второй корень (V₂₍₂₎) отбрасываем, т.к. линейная скорость (V₁) – положительная по отношению к первоначальному направлению окружного движения.

Тогда (V₂ = V_{2 (1)}),

то есть

V₂ = V₁ * (r₁ / r₂)                                                             (3.4.1)

или

V₁ * r₁ = V₂ * r₂                                                                (3.4.2)

Очевидно, что результаты этого расчёта справедливы, в том числе и для радиального движения к центру вращения. Меняется только знак работы ЦСС и знак приращения кинетической энергии тела.

Таким образом, постоянная Кеплера определяется реальной внешней силой Кеплера, что противоречит аналогии закона сохранения углового момента с моментом сохранения импульса. Именно эта реальная сила Кеплера, проекция которой на перпендикуляр к радиусу совпадает с силой Кориолиса, и является физической основой явления Кориолиса.

Для того чтобы различать силу Кеплера и классическую силу Кориолиса, но при этом сохранить обозначение их общей природы и историческую преемственность, мы предлагаем назвать проекцию силы Кеплера на перпендикуляр к радиусу – истинной силой Кориолиса-Кеплера. Это вполне реальная обычная сила, которая совпадает по направлению с силой Кориолиса, но в отличие от фиктивной силы инерции Кориолиса - реально изменяет импульс тела.

Всё, что не связано с энергией самого вращения – является внешним для вращения, даже если это внутренняя энергия элементов самой конструкции вращающейся системы, но не задействованная непосредственно в механизме формирования вращения.  Если работа внутренних сил вращающейся системы направлена на что то иное, помимо механизма вращения, то угловой момент не сохраняется.

Например, в случае, когда сокращение радиуса происходит в результате наматывания нити на цилиндрическую ось исключительно только за счёт механизма вращения, т.е. за счёт внутренней энергии непосредственного самого вращения (см. Рис 3.4.3).

Рис 3.4.3

Точка (О1) на рисунке – это центр одного из вновь образуемых вращений с изменяющимся радиусом (ТО1) вдоль поверхности цилиндрической оси. Поскольку нить наматывается исключительно за счёт линейной скорости, то дополнительной энергии для увеличения линейной скорости в процессе сокращения радиуса просто нет. Поэтому при сокращении радиуса (ТО1) радиальная скорость (Vрад) может быть только частью линейной скорости (Vл). При этом тангенциальная скорость (Vтанг.) – это оставшаяся часть (Vл).

При этом суммарная линейная скорость спирали с осью в точке (О1) – (Vсум О1) не может превысить линейную скорость Vл. На рисунке показано, что сумма (Vрад + V танг. = Vсум О1 = Vл). А с учётом потерь линейная скорость спирали (Vсум О1 < Vл). Кроме того, Vрад имеет отрицательную проекцию (-Vл) на касательную к окружности с радиусом (ОТ), т.е. относительно оси (О) суммарная линейная скорость (V сум О) будет ещё меньше, чем (Vсум О1).

Задача определения любой тангенциальной силы вращательного движения с изменяющимся радиусом может быть успешно решена безо всяких моментов чего–то почему–то и связанных с ними парадоксов с помощью мерного радиана [м_о]. Это будет показано в следующей главе (4.2.) на примере определения явных и неявных сил явления Кориолиса–Кеплера.

В начало   

Подробнее см. А. А. Астахов "Физика движения", глава 3.5