Согласно существующему определению производная функции (f (x)) в точке (x₀), принадлежащей области значений аргумента, при (∆х) в пределе стремящемся к нулю (∆х→0) равна:

f′ (x₀) = lim ∆Y / ∆x = lim (f (x₀ ± ∆х) – f (x₀)) / ∆х),

при условии, что этот предел существует.

Однако определить производную в самой точке (x₀) не представляется возможным, т.к. в точке (х₀) отношение приращения функции к приращению аргумента не имеет смысла, поскольку и числитель, и знаменатель этого соотношения становятся равными нулю. При этом, кроме того, что такое соотношение в точке (х₀) становится равным нулю по значению числителя, в знаменателе также появляется нуль. А как известно, деление на нуль запрещено.  При этом в любой точке (х) сколь угодно близкой к точке (x₀), производная (∆Y / ∆x), будет иметь неизбежную погрешность (∆δ = ± α (∆x)).

С учётом погрешности имеем:

∆Y / ∆x = f′ (x₀) ± α (∆x),

где

∆δ = ± α (∆x) = f′ (x₀) - ∆Y / ∆x

f′ (x₀) = f (x₀ ± ∆х) – f (x₀)

Тогда:

∆Y = ∆f (x) = f′ (x₀) ∆x ± α (∆x) * ∆x

При стремлении (∆x) к нулю знак дельта условно заменяется на знак (d).

∆Y = ∆f (x) = f′ (x) dx ± α (dx) * dx,

где (f′ (x) dx) = dy – есть алгебраический дифференциал функции, который применяется для приближённых вычислений. При этом само приближённое значение функции по её дифференциалу определяется следующим выражением:

f (x) = f (x₀) + f′ (x₀) dx + α (dx) * dx

Физический смысл дифференцирования для приближённых вычислений заключается в предположении, что в малом интервале дифференцирования уменьшается также и количество её усредняемых значений. При этом среднее значение отношения (∆Y / ∆x) якобы приближаться к его истинному значению в заданной точке. Соответственно при этом должна уменьшаться и погрешность дифференцирования (± ∆δ).

Если приращение функции (dy = f′ (x) dx) и аргумента (dx) — бесконечно малые одного порядка, то ошибка дифференцирования равная (α (dx) * dx) — бесконечно малая более высокого порядка, т.к. величина, квадратично зависимая от аргумента (dx), стремится к нулю быстрее, чем сам аргумент и функция, зависящая от первой степени аргумента (dx). Выразим это соответственно одной и двойной стрелкой:

Lim dx → 0

Lim f′ (x) dx → 0

Lim α (dx) * dx →→ 0

При этом предлагается опустить погрешность дифференцирования, заменив знак равенства в выражении (f (x) = f (x₀) + f′ (x₀) dx + α (dx) * dx) на знак примерного равенства:

f (x) ≈ f (x₀) + f′ (x₀) dx

См. продолжение статьи

Подробнее см. А. А. Астахов "Физика движения", глава 6.2