Итак, как показано выше, переносное движение с удлиняющимся радиусом можно представить в виде прекращения равномерного вращательного движения на текущем радиусе, преобразования его в равномерное прямолинейное движение и последующего образования из энергии равномерного окружного (прямолинейного) движения (Ек₁) нового вращательного движения на новом радиусе с новой энергией связи (Ецб) и новой кинетической энергией окружного движения (Ек₂).

Поскольку после разрыва внутренних связей прежняя энергия связи безвозвратно рассевается в пространстве, то энергия связи, необходимая для установления нового вращения (остаточная деформация) может быть изъята только из энергии освободившегося окружного прямолинейного движения (Ек₁) в виде отрицательной работы радиальной силы (Ецб) на участке равном разности радиусов (Δr = r₂ – r₁). Оставшаяся энергия это и есть кинетическая энергия окружного движения нового вращения (Ек₂).

Математически это можно выразить следующим образом:

Ек₂ = Ек₁ – Ецб,

где

Ек₁ = m * V₁² / 2

Ецб = m * а_цс * Δr

Определим центробежную силу, которая обеспечивает энергию связи (Ецб). Начальное и конечное значения силы упругости связующего тела на удлинении (Δr) равно центробежной силе с начальной и конечной линейной скоростью (V₁) и (V₂) соответственно. А поскольку сила упругости изменяется прямо пропорционально удлинению, то новая энергия связи эквивалентна работе средней центробежной силой (Fцб_ср) со средним центростремительным ускорением, определяющимся средней линейной скоростью и средним радиусом:

Fцб_ср = m * (½ * (V₁ + V₂)) ² / ((r₂ + r₁)/2) =

= ¼ * m * (V₁ + V₂) ² / ((r₂ + r₁)/2) = ½ * m * (V₁ + V₂) ² / (r₂ + r₁)

Тогда работа средней центробежной силы (Fцб_ср) на участке

(Δr = r₂ – r₁) равна:

Ецб = Fцб_ср * Δr =

= m * (½ * (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁)

С учётом значений (Ек₁) и (Ецб) кинетическая энергия нового окружного движения, определяющаяся по формуле (Ек₂ = Ек₁ – Ецб, см. выше) равна:

Ек₂ = m * V₂²/2 = m * V₁²/2 – m * (½ * (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁)

Покажем последовательные преобразования полученного выражения для (Ек₂), предварительно сократив его на множитель (m):

V₂²/2 = V₁²/2 – (½ * (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁);

V₂² = V₁² – (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁);

V₂² - V₁² = - (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁);

V₂² - V₁² = - (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₁ – r₂)) / (r₂ + r₁);

V₂² * r₁ + V₂² r₂ - V₁² * r₁ - V₁² * r₂ = (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₁ – r₂)

V₂² * r₁ + V₂² r₂ - V₁² * r₁ - V₁² * r₂ = V₁² * r₁ + 2 * V₁* V₂ * r₁ +

+ V₂² * r₁ - V₁² * r₂ - 2 * V₁* V₂ * r₂ - V₂² r₂;

2 * V₂² r₂ – 2 * V₁² * r₁ - 2 * V₁* V₂ * r₁ + 2 * V₁* V₂ * r₂ = 0;

V₂² r₂ – V₁² * r₁ - V₁* V₂ * r₁ + V₁* V₂ * r₂ = 0;

V₂² r₂ + (V₁* r₂ - V₁* r₁) * V₂ - V₁² * r₁ = 0;

Последнее уравнение, полученное после преобразования и сокращения, представляет собой квадратное уравнение вида:

А * х² + В * х – С = 0,

где

х = V₂

Корни этого уравнения определяются по формуле:                     

х_1,2 = (- В ± √Д)  / 2 * А,

где дискриминант Д равен:

Д = В² + 4 * А * С

Определим Д:

Д = (V₁* r₂ - V₁* r₁)² + 4 * V₂² * r₂ * r₁ =

= V₁² * (r₂ - r₁)² + 4 * V₂² * r₂ * r₁ =

= V₂² * r₂ - 2 * V₂² * r₂ * r₁ + r₁² + 4 * V₂² * r₂ * r₁ =

= V₂² * r₂ + 2 * V₂² * r₂ * r_{1 +} r₁² = V₁² * (r₂ + r₁)²

Найдём корни:

V_{2 (1)} = (V₁ * r₁ - V₁ * r₂ + V₁ * (r₂ + r₁)) / 2 * r₂ =

= (V₁ * r₁ - V₁ * r₂ + V₁ * r₁ + V₁ * r₂) / 2 * r₂ = V₁ * r₁ / r₂

V_{2 (2)} = (V₁ * r₁ - V₁ * r₂ - V₁ * (r₂ + r₁)) / 2 * r₂ =

= (V₁ * r₁ - V₁ * r₂ - V₁ * r₁ - V₁ * r₂) / 2 * r₂ = - V₁ / 2

Второй корень (V₂₍₂₎) отбрасываем, т.к. линейная скорость (V₁) - положительная по отношению к первоначальному направлению окружного движения.

Тогда (V₂ = V_{2 (1)}),

то есть

V₂ = V₁ * (r₁ / r₂)                                                                           (3.4.1)

или

V₁ * r₁ = V₂ * r₂                                                                             (3.4.2)

Таким образом, из приведённого вывода следует, что так называемый закон сохранения момента импульса или постоянная Кеплера определяется реальными радиальными и тангенциальными силами вращательного движения, подробно рассмотренными в (гл. 3.4.), что противоречит аналогии закона сохранения углового момента с моментом сохранения импульса. Более того, именно эти реальные силы и преобразуют виды вращательного движения по радиусу, что собственно и является физической основой явления Кориолиса.

Для того чтобы различать силу преобразования видов вращательного движения по радиусу и классическую силу Кориолиса, но при этом сохранить обозначение их общей природы и историческую преемственность, мы предлагаем назвать неявные тангенциальные силы, возникающие при радиальном движении – истинными силами Кориолиса. Хотя их с не меньшим основанием можно назвать силами Кеплера. Истинные силы Кориолиса или силы Кеплера, хотя и совпадают с силами Кориолиса по направлению, однако, в отличие от сил Кориолиса это вполне реальные обычные силы.

Задача определения любой тангенциальной силы вращательного движения с изменяющимся радиусом может быть успешно решена безо всяких моментов чего-то почему-то и связанных с ними парадоксов с помощью мерного радиана [м_о]. Это будет показано в следующей главе (4.2.) на примере определения явных и неявных сил явления Кориолиса-Кеплера.

В начало   

Подробнее см. А. А. Астахов "Физика движения", глава 3.5