MENU
Главная » Статьи » Физика и математика » Мои статьи

Динамика вращения твердого тела 2

Яндекс.Метрика

Рис. 4.5.8

Классическая динамика вращательного движения утверждает, что момент суммы сил относительно какой–либо оси равен сумме моментов относительно той же оси. Это непосредственно следует из определения векторного произведения. Но это правило справедливо только для одной и той же точки, в которой приложены разные силы. При этом радиус для отдельных исходных сил и для их суммы не меняется. Если складывать силы, приложенные к разным точкам тела, расположенным на разных радиусах от оси, то в общем случае сумма их моментов не равна моменту их суммы, т.к. суммарная сила может оказаться приложенной совсем в другой точке тела и совсем на другом расстоянии от оси симметрии, чем исходные силы. Именно так и происходит в реальной действительности.

При воздействии на вращающееся тело возмущающих факторов, которые изменяют плоскость вращения и соответственно радиусы вращения отдельных частей тела в нём фактически проявляется множество разных сил на разных радиусах. Приведённые на рисунке (4.7.1.1) построения подтверждают этот факт, т.к. Ньютоновская и Эйлеровская динамика даже для симметричного диска дают одинаковый результат только в отдельных частных случаях. Рассмотрим это подробнее.

На рисунке (4.7.1.1а) показаны исходные (для простоты равные) силы моментов (М1) и (М2), а так же их сумма – момент (МЭ1), мы его назвали Эйлеровский, а также суммарные силы (Fсум1) и (–Fсум1) и их момент (Mн1), мы его назвали Ньтоновский. Причём всё выполнено строго по правилам классической динамики вращательного движения и динамики Ньютона соответственно. Графически понятный результат налицо. Следует пояснить только соотношение величин моментов (МЭ1) и (Mн1).

Очевидно, что суммарные силы (Fсум1) и (–Fсум1) определяются как удвоенная сила в направлении исходных сил (FM1) и (FM2) с каждой стороны (левой и правой), т.е. как сила (2FM1) или (2FM2), приложенная в рассматриваемом симметричном случае к центру линии, соединяющей исходные силы. Момент суммарных сил (Fсум1) и (–Fсум1) равен произведению (2FM1) или (2FM2) на их радиус. Можно видеть, что радиус суммарных сил равен:     

Rсум = (√2) * rmax / 2

Тогда:

Mн1 = 2 * FM1 * √2   * rmax  / 2 = 1,414 * FM1(2) * rmax = 1,414 * М1(2)

То есть (Mн1) в 1.414 раза больше каждого из моментов (М1) и (М2) в отдельности. При этом эйлеровская сумма моментов (М1) и (М2) в точности равна (Mн1), т.е. если (М1) и (М2) в соответствии с последним выражением принять за единицу, то:    

МЭ = √(М1 + М2) = 1,414 = Mн1

Таким образом, в данном конкретном случае мы получили точное совпадение динамики Эйлера (МЭ1) и динамики Ньютона (Mн1), что в данном конкретном частном случае подтверждает правило равенства суммы моментов и момента суммы.

Но если отдельные силы и их сумма действуют на разных радиусах, то величина Эйлеровского (МЭ1) и Ньютоновского (Mн1) моментов будет разной. При этом они по–прежнему и всегда будут лежать в плоскости, в которой расположены эти две оси симметрии, т.к. все силы действуют параллельно ей, но направление моментов (МЭ) и (Mн) может отличаться (см. Рис. (4.7.1.2б). Здесь мы не акцентируем внимание на величине моментов, т.к. их не совсем просто просчитать, но их различие по направлению очевидно, поскольку радиусы в общем случае могут быть разными.

Рис. 4.5.9

Суммарные вращения такие, как (МЭ1) и (Mн1) будут неустойчивыми. Поскольку относительно каждого из суммарных моментов масса в начале вращения оказывается распределённой несимметрично относительно центра масс тела, то в дальнейшем моменты постепенно переместятся в центр вращающихся масс, т.е. они совпадут с динамической осью симметрии, что вполне естественно, т.к. вращательное движение абсолютно. Но в момент их образования Ньютон и Эйлер дают разный результат.

Теперь вернёмся к симметричному телу (диску), в котором так же можно увидеть несимметричные моменты (см. Рис 4.7.1.1б). При появлении момента (M3) в третьей плоскости моменты (МЭ2) и (MН2) совпали только по величине, да и то только для симметричного диска. Для простоты силы (±FM3) третьего момента (M3) мы приложили в точке приложения сил (±Fсум1) Ньютоновского момента (Mн1). Однако на качественную картину это не влияет, т.к. для определения (МЭ2) и (Mн2) они одни и те же.

Результирующие моменты (МЭ2) и (Mн2), как частный случай, опять оказались равными по абсолютной величине, но их направления значительно различаются. Правда, в нашей примитивной изометрии трудно судить о правильности отображения направления вектора (Mн2). Но об этом всё же свидетельствует равенство углов между (–Fсум1) и (–Fсум2) и между (МЭ1) и (Mн2). На рисунке оно практически соблюдено (жёлтые сектора). Во всяком случае, ошибка не может превышать реальность в 2 раза. А в общем случае моменты (МЭ2) и (MН2) не совпадут ни по величине, ни по направлению.

Таким образом, главный вывод из приведённого анализа состоит в том, что никакой объёмной динамики вращательного движения, как и динамики плоского вращательного движения с переменным радиусом, что собственно одно и то же, в природе не существует. В конечном итоге динамика вращательного движения сводится к плоскому вращению с установившимся радиусом. Даже если это объёмное тело, то всё сводится к согласованным параллельным плоским вращениям его соответствующих сечений.

Понятия классической динамики вращательного движения изначально введены классической физикой при анализе плоского вращения без изменения положения оси симметрии и угловой скорости в пространстве. Причём в главе (3) было показано, что они применимы только к динамике вращения с постоянным радиусом, который фактически является индивидуальным безразмерным коэффициентом, привязывающим классическую динамику вращения к базовой динамике Ньютона.

При неопределённом радиусе этот коэффициент (эта определённость) отсутствует, т.е. отсутствуют и сами угловые физические величины. Следовательно, такое вращательное движение не определено. В этом случае о динамике самого переходного процесса, который динамика вращательного движения принципиально не видит можно судить только по итогам сравнения начального и конечного установившегося вращения. И хотя в тему настоящей главы это не входит, попутно заметим, что это же, по всей видимости, является и причиной квантования микромира по радиусу орбит, из которого вытекает квантование и других параметров микромира.

Вращательное движение с постоянным радиусом абсолютно, т.к. оно осуществляется в собственной индивидуальной, т.е. абсолютной системе координат, привязанной к центру вращения и определяющееся постоянным радиусом. Это означает, что вращательные движения с разными радиусами, а также пространственно разделённые вращательные движения находятся в разных измерениях. Поэтому их одноимённые физические величины, хотя и имеют принципиально одинаковый физический смысл, но участвуют в разных физических процессах и, следовательно, в рамках вращательной динамики не могут быть связаны общей динамикой. В единый процесс их может объединить только динамика Ньютона, без которой они могут быть определены только как кванты разных состояний.

Классическая физика распространила понятия динамики вращательного движения с постоянным радиусом на плоское вращение с изменяющимся радиусом и на объёмные вращения твёрдого тела относительно трёх главных осей. Тем самым она смешала в единой динамике одноимённые физические величины разных вращательных движений. Это привело к многочисленным противоречиям и парадоксам. Парадоксы и противоречия плоского вращения подробно описаны в главе 3. Но в классической динамике вращения твёрдого тела нисколько не меньше противоречий, связанных со смешением разных видов вращательного движения в единой динамике.

Игнорирование классической физикой переходного процесса преобразования видов вращательного движения по радиусу, не подчиняющегося законам вращательного движения, разрушает логическую грань в виде постоянного радиуса, установленную самой же классической физикой, в соответствии с которой вращательное движение выделяется в особый вид механического движения со своими собственными физическими величинами и законами динамики. В плоском вращении с изменяющимся радиусом это в частности привело к парадоксальному выводу о сохранении импульса вращательного движения там, где в отсутствие постоянного радиуса – вращательного движения собственно уже и нет.

Причём закон сохранения момента импульса в плоском вращении естественно не согласуется и с классической динамикой объёмного вращения, что можно наглядно показать на примере гироскопа. В прецессирующем гироскопе, так же, как и в плоском вращении с изменяющимся радиусом действует внешняя сила. Но её момент уравновешивается силами Кориолиса, т.е. для динамики в плоскости перпендикулярной плоскости прецессии внешний момент отсутствует. В плоскости прецессии так же нет никаких внешних моментов, т.к. они уравновешены в пределах каждого её цикла – нутации. Правда, как отмечалось выше, это равновесие осуществляется каждый раз на новом энергетическом уровне. Но классическая физика этот момент отрицает.

Это означает, что в гироскопе, так же, как и в плоском движении с изменяющимся радиусом в отсутствие поддерживающей силы внешние моменты формально, т.е. с точки зрения классической физики отсутствуют. Но тогда этот процесс изменения радиуса по направлению в соответствии с изменением плоскости вращения ничем не отличается от преобразования видов вращательного движения по абсолютной величине радиуса в плоском движении, в котором тангенциальные силы так же присутствуют в неявном виде или формально отсутствуют.

Следовательно, в соответствии с законом сохранения момента импульса полный момент импульса гироскопа должен оставаться постоянным. В классической же динамике гироскопа он получает приращение, на основе которого и определяется угловая скорость прецессии (см. выше классическое описание физического механизма движения гироскопа)! Вывод здесь может быть только один. Динамика вращательного движения с изменяющимся, как по абсолютной величине, так и по направлению плоскости вращения радиусом не подчиняется классической динамике Ньютона.

Правда, в объёмном движении гироскопа радиус изменяется не по абсолютной величине, а по направлению. Но в динамике Ньютона классическая физика эти понятия принципиально не различает и определяет их одним общим термином – приращение. Следовательно, с точки зрения динамики Ньютона в обоих случаях радиус ведёт себя одинаково, и в том и в другом случае он получает приращение.

Таким образом, классическая динамика вращательного движения отрицается самим фактом её применения к движению с изменяющимся по абсолютной величине или по плоскости вращения радиусом.

Рассмотрим ещё одно важное для динамики гироскопа противоречие классической динамики вращения твёрдого тела.

Из уравнений Эйлера следует, что возможно только такое свободное вращение тела, когда угловая скорость совпадает с одной из его центральных главных осей. Матвеев доказывает это на стр. 319. Но далее в этой же главе, применяя уравнения Эйлера к определению нутаций, Матвеев, противореча самому себе, показывает, что, если момент инерции (Ix = I1,), а (Iy = Iz = I2), то эти уравнения, имеют решения и для вращения относительно всех трёх главных центральных осей. Приведём курсивом эти решения:

Если (Ix = I1,), а (Iy = Iz = I2), то:

Ix * ω/ dt = 0

Iy * ω/ dt + (I1 – Iz) * ωx * ωz = 0

Iz * ω/ dt + (I2 – I1) * ωy * ωx = 0

Запишем второе и третье уравнения при условии (ωx = ω1 = const) в следующем виде:

dωy  /dt + γ * ωz = 0

dωz  / dt + γ * ωy  = 0

где

γ = (I1I2) * ω1/I2

Эти уравнения имеют решение:

ωy = A * cos (γ * t)

ωz = A * sin (γ * t),

Тогда вектор угловой скорости (ω = j * ωy + k * ωz), лежащий в плоскости (yz) вращается вокруг начала с круговой частотой (γ). При этом полная угловая скорость равна:

ω = j * ω1 + ω

Этот суммарный вектор движется вокруг оси (х) по поверхности конуса с углом (α) при вершине (tg α = ω/ ω1), т.е. полная угловая скорость не совпадает с осью симметрии тела – осью (х). Ось симметрии в свою очередь не остаётся неподвижной в пространстве. Она движется по поверхности конуса, ось которого неподвижна в пространстве, и совпадает с вектором полного момента импульса. Причём угловая скорость этого вращения также равна (γ).

Следовательно, полное движение таково (см. Рис. 4.7.1.3): плоскость, в которой лежат вектор угловой скорости (ω) и ось симметрии вращаются относительно неподвижного момента импульса с угловой скоростью (γ). Причём относительное положение (ω) и оси симметрии не меняется. Это движение называется нутацией. Амплитуда нутаций зависит от начальных условий, но частота её определяется только моментами инерции и угловой скоростью относительно оси симметрии. Тело может вращаться и без нутации, если его угловая скорость направлена строго по оси симметрии.

Рис. 4.7.1.3

Мы попытались представить нутационное вращение Эйлера более наглядно и дополнили рисунок Матвеева (в оригинале Рис. 113, стр. 321) конусами вращения по описанию Матвеева, которые на его рисунке не обозначены (см. Рис. 4.7.1.3). Очень трудно в соответствии с определением вращательного движения образно увидеть одновременное существование сразу 4–х вращений одного и того же тела, которые следуют из приведенного решения. Их не видит собственно и сам автор, он говорит только о вращении треугольника, состоящего из сторон (ω, ωx, и ω).

Далее

Категория: Мои статьи | Добавил: aaa2158 (20.03.2017)
Просмотров: 417 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar