MENU
Главная » Статьи » Физика и математика » Мои статьи

Физические ошибки дифференцирования. Часть I.

Яндекс.Метрика

Согласно существующему определению производная функции (f (x)) в точке (x0) при (∆х) в пределе стремящемся к нулю (∆х→0) равна:

f′ (x0) = lim (f (x0 ± ∆х) – f (x0)) / ∆х)

В соответствии с определением предела при бесконечном стремлении аргумента, к некоторой точке (x0) принадлежащей области значений аргумента, в которой функция (Y = f (x)) определена, аргумент, тем не менее, математически никогда не достигает точки (x0), т.к. бесконечное стремление приращения аргумента (∆х) к нулю (∆х→0) делает бесконечным и сам путь к точке (x0). Соответственно текущее значение функции (Y = f (x0 ± ∆х)) так же никогда не достигает своего значения в заданной точке (Y = f (x0)).

На основании этого свойства предела для величины погрешности (∆δ), которая отделяет текущее значение функции (f (x0 ± ∆х)) от недостижимого значения функции в предельной точке (f(x0)), в математике введено обозначение погрешности виде (∆δ = α(∆x)). При этом погрешность (α (∆x)) определяется выражением:   

± α (∆x) = f (x0 ± ∆х) – f(x0) = ± ∆δ

Если остановить стремление к нулю приращения аргумента (∆x→0) в какой–нибудь точке в области определения функции вблизи точки (x0), то очевидно, что в правой части выражения для производной функции появится погрешность (± α (∆x):

f (x0) / ∆x = f′ (x0) ± α (∆x), где:

f′ (x0) = f (x0 ± ∆х) – f (x0)

Умножив обе части выражения на (∆x), получим:

f (x0) = f′ (x0) ∆x ± α (∆x) * ∆x = f′ (x) dx ± α (dx) * dx,

где (f′ (x) dx) – есть алгебраический дифференциал функции, который применяется для приближённых вычислений.

При этом физический смысл дифференцирования для приближённых вычислений заключается в следующем. В малом интервале приращения аргумента (∆x) функции (Y = f(x)) якобы уменьшается и количество усредняемых значений функции. При этом среднее значение функции должно приближаться к её истинному значению в заданной точке, т.е. должна уменьшаться и погрешность дифференцирования (± ∆δ). Тогда функция должна определяться выражением:

f (x) = f (x0) + f′ (x0) dx + α (∆x) = f (x0) + f0) * 1 – х0) ± α (∆x))

Выражение (f′ (x0)) имеет физический смысл средней скорости изменения функции в интервале (∆x→0), которая при любом (∆x) всегда отличается от истинной скорости в предельной точке дифференцирования, что и даёт погрешность приращения функции в виде алгебраического дифференциала (f′ (x0) dx). При этом поскольку с точки зрения современной математики при (∆x→0) погрешность так же должна стремиться к нулю, то её можно опустить, заменив знак равенства при определении функции методом дифференцирования знаком примерного равенства:

f (x) f (x0) + f′ (x0) dx

 

 

См. продолжение статьи

Подробнее см. А. А. Астахов "Физика движения", глава  6

Категория: Мои статьи | Добавил: aaa2158 (12.11.2015)
Просмотров: 875 | Рейтинг: 1.0/1
Всего комментариев: 0
avatar