MENU
Главная » Статьи » Физика и математика » Мои статьи

Физические ошибки дифференцирования. Часть I.

 

Яндекс.Метрика

Согласно существующему определению производная функции (f (x)) в точке (x0) в пределе при (∆х→0) равна:

f′ (x0) = lim (f (x0 ± ∆х) - f (x0)) / ∆х)

В соответствии с определением предела при бесконечном стремлении аргумента, к некоторой точке (x0) принадлежащей области значений аргумента, в которой функция (Y = f (x)) определена, аргумент, тем не менее, математически никогда не достигает точки (x0), т.к. его приращение (∆х) на этом пути бесконечно стремится к нулю (∆х→0), что делает бесконечным и сам путь к точке (x0). Соответственно текущее значение функции (Y = f (x0 ± ∆х)) так же никогда не достигает своего значения в заданной точке (Y = f (x0)).

На основании этого свойства предела для величины погрешности (∆δ), которая отделяет текущее значение функции (f (x0 ± ∆х)) от недостижимого значения функции в предельной точке (f(x0)), в математике введено обозначение виде (∆δ = α(∆x)). При этом погрешность (α (∆x)) определяется выражением:   

± α (∆x) = f (x0 ± ∆х) – f(x0) = ± ∆δ

Если остановить стремление к нулю приращения аргумента (∆x→0) в какой-нибудь точке в области определения функции вблизи точки (x0), то очевидно, что в правой части выражения для производной функции появится погрешность (± α (∆x):

f (x0) / ∆x = f′ (x0) ± α (∆x), где:

f (x0) = f (x0 ± ∆х) - f (x0)

Умножив обе части выражения на (∆x), получим:

f (x0) = f′ (x0) ∆x ± α (∆x) * ∆x = f′ (x) dx ± α (dx) * dx,

где (f′ (x) dx) – есть алгебраический дифференциал функции, который применяется для приближённых вычислений.

Физический смысл дифференцирования для приближённых вычислений заключается в следующем.

По версии классической физики в малом интервале приращения аргумента (∆x) функции (Y = f(x)) якобы уменьшается и количество усредняемых значений функции. При этом среднее значение функции приближается к её истинному значению, т.е. уменьшается и погрешность дифференцирования (± ∆δ). При этом функция определяется выражением:

f (x) = f (x0) + f′ (x0) dx + α (∆x) = f (x0) + f0) * 1 - х0) ± α (∆x))

Выражение (f′ (x0)) имеет физический смысл средней скорости изменения функции в интервале (∆x→0), которая при любом (∆x) всегда отличается от истинной скорости в предельной точке дифференцирования, что и даёт погрешность приращения функции в виде алгебраического дифференциала (f′ (x0) dx). При этом поскольку с точки зрения современной математики при (∆x→0) погрешность так же должна стремиться к нулю, то её можно опустить, заменив знак равенства при определении функции методом дифференцирования знаком примерного равенства:

f (x) f (x0) + f′ (x0) dx

Выше мы попытались предельно объективно изложить логику классического дифференцирования своими словами по материалам учебного пособия для студентов педагогических институтов по специальности 2120 «Общетехнические дисциплины и труд» под редакцией Г. Н. Яковлева, М, «Просвещение» 1988. Однако по нашему мнению классическое дифференцирование - это всего лишь оторванная от реальной действительности и внутренне противоречивая математическая абстракция, которая не имеет физического смысла.

В математике считается, что с уменьшением интервала приращения аргумента, т.е. интервала дифференцирования, стремящегося к нулю (dx→0), стремится к нулю не только абсолютная погрешность дифференцирования (∆δ = f (x0 ± ∆х) – f(x0)), но и его относительная погрешность

(∆δ / (f′ (x) dx) = (f (x0 ± ∆х) – f(x0)) / (f′ (x) dx), т.е.: 

(f (x0 ± ∆х) – f(x0)) / (f′ (x) dx) = α (dx) * dx / (f′ (x) dx) = α (dx) / f′ (x) → 0

 

См. продолжение статьи

Подробнее см. А. А. Астахов "Физика движения", глава  6

Категория: Мои статьи | Добавил: aaa2158 (12.11.2015)
Просмотров: 248 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar