Экспонента и число е: просто и понятно.

Источник: материала.

Число e всегда волновало меня — не как буква, а как математическая константа. Что число е означает на самом деле?

Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:

Математическая константа е является основанием натурального логарифма.

Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:

Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.

Определения, конечно, правильные. Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).

С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е, и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!

Число е – это не просто число

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

• Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
• Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
• Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

рост = 2^x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%)^x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+прирост)^x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

Но деньги меняют все

С деньгами дела обстоят по-другому. Как только мы зарабатываем пару монет прибыли, эти монетки начинают приносить свои микро-прибыли. Нет необходимости ждать, пока набежит целый рубль — свежим денежкам совсем не нужно дозревать, чтобы начать плодоносить.

Основываясь на нашей старой формуле, прирост процента выглядит примерно так:

Но опять же, это не совсем правильно: вся сумма процента появляется в последний день. Давайте посмотрим поближе и разделим год на два промежутка. Мы зарабатываем 100% прибыль каждый год, или по 50% каждые 6 месяцев. Таким образом, мы заработаем 50 копеек в первые полгода, и другие 50 копеек во вторую половину года:

И все равно, это неверно! Конечно, наш рубль-родитель (Синий кружок) зарабатывает рубль в течение года. Но после 6 месяцев мы получим 50-копеечный кусочек прибыли – готовые деньги, которыми мы пренебрегаем! Эти 50 копеек уже могли бы зарабатывать свои собственные деньги:

Поскольку наш коэффициент равен 50% каждые полгода, эти 50 копеек могли бы заработать еще 25 копеек (50% от 50 копеек). В конце года мы бы получили:

• Наш начальный рубль (Синий кружок)
• Рубль, который заработал Синий (Зеленый кружок)
• 25 копеек, которые заработал Зеленый (Красный кружок)

Если все сложить, получится 2,25 рублей. Мы заработали 1,25 рубля всего на одном исходном рубле, и это даже лучше, чем удвоение!

Вернемся к формуле. Рост за два полу-периода по 50% составит:

рост = (1+100%/2)² = 2,25

Переходим на составной рост

Идем дальше. Давайте поделим рост не на два периода по 50%, а на 3 сегмента по 33% каждый. Кто сказал, что надо ждать целых 6 месяцев до начала получения прибыли? Давайте детализируем наши вычисления.

Вот так выглядит наш рост, расписанный на 3 составных периода:

Каждый отдельный цвет обозначает определенное «поколение» прибыли . Тогда картина выглядит так:

• Месяц 0: Мы начали с 1 рубля (Синий)
• Месяц 4: Синий родитель заработал 1/3 рубля сам, то есть родил Зеленого детеныша, равного 33 копейкам.
• Месяц 8: Синий родитель заработал еще 33 копейки, его Зеленый детеныш, соответственно, на столько же подрос. За этот период Зеленый детеныш уже заработал свои 11 копеек (33% от 33 копеек). Эти 11 копеек становятся Красным внуком.
• Месяц 12: Процесс становится еще интереснее. Синий родитель зарабатывает еще 33 копейки, и его Зеленый детеныш совсем повзрослев, став целым рублем. Зеленый и сам заработал 22 копейки за последние 4 месяца, поэтому его Красный ребенок весит уже 33 копейки. И Красный, будучи в возрасте 11 копеек в начале этого промежутка, заработал свои 4 копейки (33% от 11 копеек) – и это уже его Фиолетовый детёныш.

Фуух! Спустя 12 месяцев у нас получается: 1 + 1 + 0.33 + 0.04 или примерно 2.37 рубля.

Потратим еще чуть времени, чтобы понять, что на самом деле происходит с таким ростом:

• Каждый цвет зарабатывает свой процент и «передает» его другому цвету. Заработанные деньги могут зарабатывать свои собственные прибыли, и этот цикл повторяется.
• Мне нравится думать, что начальная сумма (Синий родитель) никогда не меняется. Синий вкладывает свои заработки в рождение Зеленого, 33 копейки каждые 4 месяца, а сам не растет. На графике синими стрелками показано, как Синий родитель кормит своего Зеленого малыша.
• Зелёный родитель только что произвёл на свет красного (зелёные стрелки), но синий родитель про это не знает ни сном ни духом.
• Сам Зеленый постоянно растет (на кормежке Синего родителя), вкладывая все больше и больше в свое Красное дитя. Между 4 и 8 месяцами Зеленый отдает 11 копеек Красному. Между 8 и 12 месяцем Зеленый дает 22 копейки Красному, так как сам он к 8 месяцу вырос до 66 копеек. Если бы мы удлинили нашу диаграмму, Зеленый бы отдал Красному 33 копейки, так как сам он к 12 месяцу подрос до целого рубля.

Теперь понятнее? Поначалу это сложно — я и сам запутался, пока рисовал все эти графики. Главное понять, что каждый «рубль» создает маленьких помощников, а те, в свою очередь, создают помощников себе, и так далее.

Если рассматривать год как 3 равных периода, формула роста будет такой:

рост = (1 + 100%/3)³ = 2.37037...

Мы заработали 1.37 рубля, а это даже лучше, чем те 1.25, что получились у нас в предыдущий раз!

Можно ли преумножать деньги бесконечно?

А почему бы не разбить год на более короткие периоды? Как насчет месяца, дня, часа или даже наносекунды? Наша прибыль взлетит до небес?

Прибыль увеличится, но уже не намного. Попробуем подставить в нашу волшебную формулу  разные значения n, и получим следующее:

Результаты растут и сходятся к числу 2.718. Так… подождите… да это же число е!

Ух ты! Если выражаться заумными математическими терминами, число е определяется как коэффициент роста при непрерывном делении 100% прибыли на меньшие и меньшие периоды:

 рост = число e = lim _n→∞ (1+1/n)ⁿ

Данный предел сходится к одной точке, и этому есть доказательства. Как вы видите, когда берем меньшие периоды, общая прибыль всегда остается около 2.718.

В этом примере всё удваивалось за определённый промежуток времени.

Теперь давайте разберёмся, как от этого меняется наше понимание сути числа е, а также что делать с системами, которые растут экспоненциально, но не удваиваются, а имеют другой коэффициент роста.

И что все это значит?

Число е (2.718) — это максимально возможный результат при распределении 100% роста в течение одного периода времени. Конечно, начали мы, ожидая рост с 1 до 2 (это и есть 100% увеличение, правда?). Но с каждым крошечным шажком вперед, мы получаем маленькие «дивиденды», которые начинают сами по себе расти. Когда все сказано и сделано, в конце 1 периода времени мы получили е (2.718…), а не 2. Число е — это максимум, который случается при разбиении 100% на самые мелкие промежутки.

Так, если мы начнем с 1 рубля и разложим непрерывно 100% прироста, мы получим 1е. Если в качестве начальной суммы взять 2 рубля, в итоге получим 2е. Если мы начнем с 11.79 рублей, получим 11.79е.

Число е — это нечто вроде предела скорости (как "число с" — скорость света). Эта константа показывает, как быстро можно вырасти, используя непрерывный процесс. Вы можете не всегда достигать предела скорости, но это удобная точка сравнения: вы можете описать любой коэффициент роста с помощью этой универсальной константы.

(Отступление: будьте осторожны, отличайте понятие увеличения от понятия конечного результата. 1, становящаяся е (2.718…), увеличилась (коэффициент роста) на 171.8%. Число е, само по себе, является конечным результатом, который вы видите после того, как весь прирост зачислен (начальная сумма + прирост)).

А могут быть другие коэффициенты?

Хороший вопрос. Что если ежегодный рост составляет 50%, а не 100%? Можем ли мы по-прежнему использовать число е?

Давайте проверим. Коэффициент составного роста в 50% выглядит примерно так:

lim _n→∞ (1 + 0.5/n)ⁿ

Хм… Что мы можем тут сделать? Помните, 50% — это общий процент дохода, а n — это количество периодов, на которые этот процент поделен для начисления (капитализации). Если мы выберем n=50, тогда наш рост будет поделен на 50 кусочков по 1%:

(1 + 0.50/50)⁵⁰ = (1 + 0.01)⁵⁰

Это, конечно, не бесконечность, но все равно достаточно детализированный пример. А теперь представьте, что мы также поделили наш «обычный» рост в 100% на 1% кусочки:

число e ≈ (1 + 1.00/100)¹⁰⁰ = (1 + 0.01)¹⁰⁰

Ну вот, что-то уже проглядывается. В нашем привычном случае у нас получается 100 нарастающих изменений, величиной 1% каждое. В случае с 50%, у нас 50 нарастающих изменений по 1% каждое.

Какая разница между двумя этими числами? По сути, в случай с 50% равен половине случая со 100%:

(1 + 0.01)⁵⁰ = (1 + 0.01)^100/2 = ((1 + 0.01)¹⁰⁰ )^1/2 = e^1/2
 

Это очень интересно. 50/100 = 0.5, что является показателем степени, в которую мы возводим е. Это общий принцип: если бы наш процент роста был 300%, мы бы могли разделить его на 300 кусочков по 1%. И в итоге мы бы получили результат, равный е³.

При том, что рост выглядит как простое прибавление (+1%), нужно помнить, что на самом деле это умножение (× 1.01). Вот почему мы используем степени (повторяющееся умножение) и квадратные корни (е^1/2 означает «половину» количества изменений, т.е. половину числа умножений).

Хотя мы выбрали 1%, за коэффициент роста можно было принять меньшее число (0.1%, 0.0001%, или даже бесконечно маленькое число!). Суть в том, что какой бы коэффициент мы не выбрали, он будет просто означать новую степень для е:

рост = e^{коэффициент}

А что по поводу других периодов времени?

Предположим, мы вырастем на 300% в течение 2 лет. Мы умножаем ежегодный прирост (е³) на самого себя:

рост = (e³)² = e⁶

И в общем виде:

рост = ( e^{прирост} ) ^время = e^{прирост × время}

Магия степеней позволяет избегать двойного возведения. Мы просто умножаем коэффициент на время, и возводим число е в получившуюся степень.

По секрету: число е объединяет прирост и время 

Это удивительно! е^x может значить две вещи:

• х — количество умножений коэффициента роста: 100% рост на 3 года составит е³
• х — это коэффициент роста сам по себе: 300% рост за 1 год составит е³.

Не натворит ли это открытие дел? Не сломается ли наша формула, не наступит ли конец света?

Нет, все будет в порядке. Когда мы пишем:

e^х

переменная х являет собой комбинацию коэффициента роста и времени.

x = прирост × время

Позвольте мне объяснить. В ситуации с непрерывным составным ростом, 10 лет с 3% приростом дадут такой же результат, как 1 год с 30% ростом (без последующего роста).

• 10 лет 3% роста будут означать, что сумма изменится 30 раз на 1 процент. Эти изменения происходят каждые 10 лет, так что каждый год сумма возрастает на 3%.
• 1 период с 30% ростом означает также 30 раз по 1%, но происходит это все за 1 год. Так что общий прирост составляет 30% и на этом прекращается.

В любом случае происходит 30 приростов по 1%. Чем выше коэффициент (30%), тем меньше времени понадобится, чтобы дорасти до того же объема прибыли (1 год). Чем коэффициент меньше (3%), тем дольше придется расти (10 лет).

Но в обоих случаях, рост составит е^0.30 = 1.35 в итоге. Из-за нехватки терпения мы предпочитаем более высокий и быстрый рост медленному и длительному, но число е показывает, что эффект одинаков в обоих случаях.

Вот такая у нас получается общая формула:

рост = e^x = e^{прирост × время}

Если за период В мы получим прирост П, наш общий составной рост будет равен е^пв. Между прочим, это также работает для отрицательных и дробных приростов.

В следующей статье мы рассмотрим экспоненциальный рост и число е на реальных примерах: рост кристаллов, максимальная банковская ставка, скорость радиоактивного распада.

Время примеров!

Примеры всегда делают сухую математику веселее. Маленькая поправка: мы так уже привыкли к формулам типа 2^x и обычному, составному росту, что можно легко запутаться (я и сам через это прошел). Почитайте подробнее о простом, составном и непрерывном росте.

Эти примеры демонстрируют плавный, непрерывный рост, а не «скачкообразный» рост, которые происходит в годичные интервалы. Есть способы расчетов прибыли между интервалами, но оставим это для новой статьи.

Пример 1: Наращивание кристаллов

Предположим, у меня есть 300 кг магических кристаллов. Они магические, потому что растут в течение дня: сначала я вижу один кристалл, а через 24 часа он выбрасывает из себя другой кристалл, весом как он сам. (Кристаллы-детки начинают расти сразу же, и с таким же темпом, но я это уже не могу отследить — я могу увидеть только вот эту первую партию новорожденных). Сколько кристаллов будет у меня через 10 дней?

В общем, так как кристаллы начинают расти немедленно, мы имеем дело с непрерывным ростом. Наш коэффициент прироста 100% каждые 24 часа, так что через 10 дней мы получим 300 × e^1 × 10 = 6.6 миллионов кг магических самоцветов.

Здесь может быть загвоздка: видите, какая разница между исходным коэффициентом и общим коэффициентом прироста. «Исходный» — это насколько изменяется один кристалл: 100% за 24 часа. Общий прирост равен числу е (2.718х), потому что детки-кристаллы тоже постоянно растут.

В этом случае у нас есть исходный коэффициент (как быстро растут кристаллы), и мы хотим получить совокупный результат (как вся группа вырастет с учетом кристаллов-деток). Если у нас есть общий прирост, а вычислить требуется исходный коэффициент (рост одного кристалла за определенный период времени), мы вычисляем в обратном порядке и используем натуральный логарифм.

Пример 2: максимальная ставка процента

Допустим, у меня есть 120 рублей на счету в банке с 5% ставкой. Мой банк очень щедр, и обеспечивает мне максимально возможную капитализацию. Сколько у меня будет денег через 10 лет?

Наша ставка составляет 5%, и нам повезло с непрерывной капитализацией. После 10 лет мы получим 120 × e^0.05 × 10 = 197,85 рублей. Конечно, большинство банков не настолько хороши, чтобы предоставить вам лучший из возможных процентов. Разница между вашей конечной суммой и размером непрерывного прироста показывает, насколько именно они жадничают..

Пример 3: радиоактивный распад

У меня 10 кг радиоактивного материала, который непрерывно распадается с коэффициентом 100% в год. Как много у меня останется через 3 года?

Совсем ничего? Ноль без палочки? Подумайте еще раз.

Распадаться непрерывно на 100% в год — примерно такую ситуацию мы рассматривали в начале. Да, мы начали с 10 кг, и ожидаем потерять все к концу первого же года, так как материал распадается на 10 кг/год.

Наше радиотопливо распадалось несколько месяцев, и осталось всего 5 кг материала. До полного распада осталось полгода? Неа! Теперь мы теряем в весе уже 5 кг/год, так что у нас еще целый год для полного распада!

Мы ждем еще несколько месяцев, и доходим до 2 кг. И конечно же, дальнейший распад уже пойдет со скоростью 2 кг/год, так что у нас еще в запасе полный год (с этого момента). Мы доходим до 1 кг, и опять в запасе целый год, так мы достигнем 0,5 кг, еще один год – улавливаете схему?

С течением времени мы теряем материал, но и скорость распада постепенно уменьшается. Этот постоянно изменяющийся темп и лежит в основе непрерывного роста и распада.

Спустя три года, у нас останется 10 × e^-1 × 3 = 0.498 кг. Мы использовали отрицательную степень для распада – нам нужна дробь (1/e^п × в) вместо произведения роста (е^п × в). (Распад обычно дается в контексте «полураспада» — мы поговорим о преобразовании этих показателей в другой статье).

Больше примеров

Если вы хотите более сложные примеры, попробуйте формулу опционов Блэка-Шоулза (число е используется для экспоненциального снижения в цене) или радиоактивный распад. Цель таких примеров — дать человеку увидеть е^п × в в формуле и понять, почему она там: это и моделирует прирост или распад.

Сейчас вы знаете, почему константа называется «е», а не «пи» или другое какое-то число: е, возведенная в степень «п × в», позволяет оценить влияние коэффициента прироста П и времени В.