MENU
Главная » Статьи » Физика и математика » Статьи других авторов

Экспонента и число е: просто и понятно. Автор не установлен.

 

Яндекс.Метрика

Экспонента и число е: просто и понятно.

Источник: материала.

Число e всегда волновало меня — не как буква, а как математическая константа. Что число е означает на самом деле?

Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:

Математическая константа е является основанием натурального логарифма.

Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:

Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.

Определения, конечно, правильные. Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).

С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е, и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!

 

Число е – это не просто число

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

 

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

  • Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
  • Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
  • Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

http://images.sunnyrentals.com/userfiles/69/aws/img/posts/e/growth_2_x.png

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

рост = 2x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%)x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+прирост)x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

 

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

 

http://images.sunnyrentals.com/userfiles/69/aws/img/posts/e/growth_2x_zoomed.png

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

Но деньги меняют все

С деньгами дела обстоят по-другому. Как только мы зарабатываем пару монет прибыли, эти монетки начинают приносить свои микро-прибыли. Нет необходимости ждать, пока набежит целый рубль — свежим денежкам совсем не нужно дозревать, чтобы начать плодоносить.

Основываясь на нашей старой формуле, прирост процента выглядит примерно так:

http://images.sunnyrentals.com/userfiles/69/aws/img/posts/e/growth_interest_1.png

 

Но опять же, это не совсем правильно: вся сумма процента появляется в последний день. Давайте посмотрим поближе и разделим год на два промежутка. Мы зарабатываем 100% прибыль каждый год, или по 50% каждые 6 месяцев. Таким образом, мы заработаем 50 копеек в первые полгода, и другие 50 копеек во вторую половину года:

http://images.sunnyrentals.com/userfiles/69/aws/img/posts/e/growth_interest_6_months.png

И все равно, это неверно! Конечно, наш рубль-родитель (Синий кружок) зарабатывает рубль в течение года. Но после 6 месяцев мы получим 50-копеечный кусочек прибыли – готовые деньги, которыми мы пренебрегаем! Эти 50 копеек уже могли бы зарабатывать свои собственные деньги:

http://images.sunnyrentals.com/userfiles/69/aws/img/posts/e/growth_interest_6_months_compound.png

Поскольку наш коэффициент равен 50% каждые полгода, эти 50 копеек могли бы заработать еще 25 копеек (50% от 50 копеек). В конце года мы бы получили:

  • Наш начальный рубль (Синий кружок)
  • Рубль, который заработал Синий (Зеленый кружок)
  • 25 копеек, которые заработал Зеленый (Красный кружок)

Если все сложить, получится 2,25 рублей. Мы заработали 1,25 рубля всего на одном исходном рубле, и это даже лучше, чем удвоение!

Вернемся к формуле. Рост за два полу-периода по 50% составит:

рост = (1+100%/2)= 2,25

 

Переходим на составной рост

Идем дальше. Давайте поделим рост не на два периода по 50%, а на 3 сегмента по 33% каждый. Кто сказал, что надо ждать целых 6 месяцев до начала получения прибыли? Давайте детализируем наши вычисления.

Вот так выглядит наш рост, расписанный на 3 составных периода:

число е

Каждый отдельный цвет обозначает определенное «поколение» прибыли . Тогда картина выглядит так:

  • Месяц 0: Мы начали с 1 рубля (Синий)
  • Месяц 4: Синий родитель заработал 1/3 рубля сам, то есть родил Зеленого детеныша, равного 33 копейкам.
  • Месяц 8: Синий родитель заработал еще 33 копейки, его Зеленый детеныш, соответственно, на столько же подрос. За этот период Зеленый детеныш уже заработал свои 11 копеек (33% от 33 копеек). Эти 11 копеек становятся Красным внуком.
  • Месяц 12: Процесс становится еще интереснее. Синий родитель зарабатывает еще 33 копейки, и его Зеленый детеныш совсем повзрослев, став целым рублем. Зеленый и сам заработал 22 копейки за последние 4 месяца, поэтому его Красный ребенок весит уже 33 копейки. И Красный, будучи в возрасте 11 копеек в начале этого промежутка, заработал свои 4 копейки (33% от 11 копеек) – и это уже его Фиолетовый детёныш.

Фуух! Спустя 12 месяцев у нас получается: 1 + 1 + 0.33 + 0.04 или примерно 2.37 рубля.

Потратим еще чуть времени, чтобы понять, что на самом деле происходит с таким ростом:

  • Каждый цвет зарабатывает свой процент и «передает» его другому цвету. Заработанные деньги могут зарабатывать свои собственные прибыли, и этот цикл повторяется.
  • Мне нравится думать, что начальная сумма (Синий родитель) никогда не меняется. Синий вкладывает свои заработки в рождение Зеленого, 33 копейки каждые 4 месяца, а сам не растет. На графике синими стрелками показано, как Синий родитель кормит своего Зеленого малыша.
  • Зелёный родитель только что произвёл на свет красного (зелёные стрелки), но синий родитель про это не знает ни сном ни духом.
  • Сам Зеленый постоянно растет (на кормежке Синего родителя), вкладывая все больше и больше в свое Красное дитя. Между 4 и 8 месяцами Зеленый отдает 11 копеек Красному. Между 8 и 12 месяцем Зеленый дает 22 копейки Красному, так как сам он к 8 месяцу вырос до 66 копеек. Если бы мы удлинили нашу диаграмму, Зеленый бы отдал Красному 33 копейки, так как сам он к 12 месяцу подрос до целого рубля.

Теперь понятнее? Поначалу это сложно — я и сам запутался, пока рисовал все эти графики. Главное понять, что каждый «рубль» создает маленьких помощников, а те, в свою очередь, создают помощников себе, и так далее.

Если рассматривать год как 3 равных периода, формула роста будет такой:

рост = (1 + 100%/3)= 2.37037...

Мы заработали 1.37 рубля, а это даже лучше, чем те 1.25, что получились у нас в предыдущий раз!

 

Можно ли преумножать деньги бесконечно?

А почему бы не разбить год на более короткие периоды? Как насчет месяца, дня, часа или даже наносекунды? Наша прибыль взлетит до небес?

Прибыль увеличится, но уже не намного. Попробуем подставить в нашу волшебную формулу  разные значения n, и получим следующее:

 

n          (1 + 1/n)^n

------------------

1          2

2          2.25

3          2.37

5          2.488

10         2.5937

100        2.7048

1,000      2.7169

10,000     2.71814

100,000    2.718268

1,000,000  2.7182804

...

 

Результаты растут и сходятся к числу 2.718. Так… подождите… да это же число е!

Ух ты! Если выражаться заумными математическими терминами, число е определяется как коэффициент роста при непрерывном делении 100% прибыли на меньшие и меньшие периоды:

 рост = число e = lim n (1+1/n)n

Данный предел сходится к одной точке, и этому есть доказательства. Как вы видите, когда берем меньшие периоды, общая прибыль всегда остается около 2.718.

 

В этом примере всё удваивалось за определённый промежуток времени.

Теперь давайте разберёмся, как от этого меняется наше понимание сути числа е, а также что делать с системами, которые растут экспоненциально, но не удваиваются, а имеют другой коэффициент роста.

 

И что все это значит?

Число е (2.718) — это максимально возможный результат при распределении 100% роста в течение одного периода времени. Конечно, начали мы, ожидая рост с 1 до 2 (это и есть 100% увеличение, правда?). Но с каждым крошечным шажком вперед, мы получаем маленькие «дивиденды», которые начинают сами по себе расти. Когда все сказано и сделано, в конце 1 периода времени мы получили е (2.718…), а не 2. Число е — это максимум, который случается при разбиении 100% на самые мелкие промежутки.

Так, если мы начнем с 1 рубля и разложим непрерывно 100% прироста, мы получим 1е. Если в качестве начальной суммы взять 2 рубля, в итоге получим 2е. Если мы начнем с 11.79 рублей, получим 11.79е.

Число е — это нечто вроде предела скорости (как "число с" — скорость света). Эта константа показывает, как быстро можно вырасти, используя непрерывный процесс. Вы можете не всегда достигать предела скорости, но это удобная точка сравнения: вы можете описать любой коэффициент роста с помощью этой универсальной константы.

(Отступление: будьте осторожны, отличайте понятие увеличения от понятия конечного результата. 1, становящаяся е (2.718…), увеличилась (коэффициент роста) на 171.8%. Число е, само по себе, является конечным результатом, который вы видите после того, как весь прирост зачислен (начальная сумма + прирост)).

 

А могут быть другие коэффициенты?

Хороший вопрос. Что если ежегодный рост составляет 50%, а не 100%? Можем ли мы по-прежнему использовать число е?

Давайте проверим. Коэффициент составного роста в 50% выглядит примерно так:

lim n (1 + 0.5/n)n

Хм… Что мы можем тут сделать? Помните, 50% — это общий процент дохода, а n — это количество периодов, на которые этот процент поделен для начисления (капитализации). Если мы выберем n=50, тогда наш рост будет поделен на 50 кусочков по 1%:

(1 + 0.50/50)50 = (1 + 0.01)50

Это, конечно, не бесконечность, но все равно достаточно детализированный пример. А теперь представьте, что мы также поделили наш «обычный» рост в 100% на 1% кусочки:

число e ≈ (1 + 1.00/100)100 = (1 + 0.01)100

Ну вот, что-то уже проглядывается. В нашем привычном случае у нас получается 100 нарастающих изменений, величиной 1% каждое. В случае с 50%, у нас 50 нарастающих изменений по 1% каждое.

http://images.sunnyrentals.com/userfiles/69/aws/img/posts/e/different_exponential_rates.png

Какая разница между двумя этими числами? По сути, в случай с 50% равен половине случая со 100%:

(1 + 0.01)50 = (1 + 0.01)100/2 = ((1 + 0.01)100 )1/2 = e1/2
 

Это очень интересно. 50/100 = 0.5, что является показателем степени, в которую мы возводим е. Это общий принцип: если бы наш процент роста был 300%, мы бы могли разделить его на 300 кусочков по 1%. И в итоге мы бы получили результат, равный е3.

При том, что рост выглядит как простое прибавление (+1%), нужно помнить, что на самом деле это умножение (× 1.01). Вот почему мы используем степени (повторяющееся умножение) и квадратные корни (е^1/2 означает «половину» количества изменений, т.е. половину числа умножений).

Хотя мы выбрали 1%, за коэффициент роста можно было принять меньшее число (0.1%, 0.0001%, или даже бесконечно маленькое число!). Суть в том, что какой бы коэффициент мы не выбрали, он будет просто означать новую степень для е:

рост = eкоэффициент

 

А что по поводу других периодов времени?

Предположим, мы вырастем на 300% в течение 2 лет. Мы умножаем ежегодный прирост (е3) на самого себя:

рост = (e3)2 = e6

И в общем виде:

рост = ( eприрост время = eприрост × время

Магия степеней позволяет избегать двойного возведения. Мы просто умножаем коэффициент на время, и возводим число е в получившуюся степень.

 

По секрету: число е объединяет прирост и время 

Это удивительно! еx может значить две вещи:

  • х — количество умножений коэффициента роста: 100% рост на 3 года составит е3
  • х — это коэффициент роста сам по себе: 300% рост за 1 год составит е3.

Не натворит ли это открытие дел? Не сломается ли наша формула, не наступит ли конец света?

Нет, все будет в порядке. Когда мы пишем:

eх

переменная х являет собой комбинацию коэффициента роста и времени.

x = прирост × время

Позвольте мне объяснить. В ситуации с непрерывным составным ростом, 10 лет с 3% приростом дадут такой же результат, как 1 год с 30% ростом (без последующего роста).

  • 10 лет 3% роста будут означать, что сумма изменится 30 раз на 1 процент. Эти изменения происходят каждые 10 лет, так что каждый год сумма возрастает на 3%.
  • 1 период с 30% ростом означает также 30 раз по 1%, но происходит это все за 1 год. Так что общий прирост составляет 30% и на этом прекращается.

В любом случае происходит 30 приростов по 1%. Чем выше коэффициент (30%), тем меньше времени понадобится, чтобы дорасти до того же объема прибыли (1 год). Чем коэффициент меньше (3%), тем дольше придется расти (10 лет).

Но в обоих случаях, рост составит е0.30 = 1.35 в итоге. Из-за нехватки терпения мы предпочитаем более высокий и быстрый рост медленному и длительному, но число е показывает, что эффект одинаков в обоих случаях.

Вот такая у нас получается общая формула:

рост = e= eприрост × время

Если за период В мы получим прирост П, наш общий составной рост будет равен епв. Между прочим, это также работает для отрицательных и дробных приростов.

В следующей статье мы рассмотрим экспоненциальный рост и число е на реальных примерах: рост кристаллов, максимальная банковская ставка, скорость радиоактивного распада.

Время примеров!

Примеры всегда делают сухую математику веселее. Маленькая поправка: мы так уже привыкли к формулам типа 2x и обычному, составному росту, что можно легко запутаться (я и сам через это прошел). Почитайте подробнее о простом, составном и непрерывном росте.

Эти примеры демонстрируют плавный, непрерывный рост, а не «скачкообразный» рост, которые происходит в годичные интервалы. Есть способы расчетов прибыли между интервалами, но оставим это для новой статьи.

Пример 1: Наращивание кристаллов

Предположим, у меня есть 300 кг магических кристаллов. Они магические, потому что растут в течение дня: сначала я вижу один кристалл, а через 24 часа он выбрасывает из себя другой кристалл, весом как он сам. (Кристаллы-детки начинают расти сразу же, и с таким же темпом, но я это уже не могу отследить — я могу увидеть только вот эту первую партию новорожденных). Сколько кристаллов будет у меня через 10 дней?

В общем, так как кристаллы начинают расти немедленно, мы имеем дело с непрерывным ростом. Наш коэффициент прироста 100% каждые 24 часа, так что через 10 дней мы получим 300 × e1 × 10 = 6.6 миллионов кг магических самоцветов.

Здесь может быть загвоздка: видите, какая разница между исходным коэффициентом и общим коэффициентом прироста. «Исходный» — это насколько изменяется один кристалл: 100% за 24 часа. Общий прирост равен числу е (2.718х), потому что детки-кристаллы тоже постоянно растут.

В этом случае у нас есть исходный коэффициент (как быстро растут кристаллы), и мы хотим получить совокупный результат (как вся группа вырастет с учетом кристаллов-деток). Если у нас есть общий прирост, а вычислить требуется исходный коэффициент (рост одного кристалла за определенный период времени), мы вычисляем в обратном порядке и используем натуральный логарифм.

Пример 2: максимальная ставка процента

Допустим, у меня есть 120 рублей на счету в банке с 5% ставкой. Мой банк очень щедр, и обеспечивает мне максимально возможную капитализацию. Сколько у меня будет денег через 10 лет?

Наша ставка составляет 5%, и нам повезло с непрерывной капитализацией. После 10 лет мы получим 120 × e0.05 × 10 = 197,85 рублей. Конечно, большинство банков не настолько хороши, чтобы предоставить вам лучший из возможных процентов. Разница между вашей конечной суммой и размером непрерывного прироста показывает, насколько именно они жадничают..

Пример 3: радиоактивный распад

У меня 10 кг радиоактивного материала, который непрерывно распадается с коэффициентом 100% в год. Как много у меня останется через 3 года?

Совсем ничего? Ноль без палочки? Подумайте еще раз.

Распадаться непрерывно на 100% в год — примерно такую ситуацию мы рассматривали в начале. Да, мы начали с 10 кг, и ожидаем потерять все к концу первого же года, так как материал распадается на 10 кг/год.

Наше радиотопливо распадалось несколько месяцев, и осталось всего 5 кг материала. До полного распада осталось полгода? Неа! Теперь мы теряем в весе уже 5 кг/год, так что у нас еще целый год для полного распада!

Мы ждем еще несколько месяцев, и доходим до 2 кг. И конечно же, дальнейший распад уже пойдет со скоростью 2 кг/год, так что у нас еще в запасе полный год (с этого момента). Мы доходим до 1 кг, и опять в запасе целый год, так мы достигнем 0,5 кг, еще один год – улавливаете схему?

С течением времени мы теряем материал, но и скорость распада постепенно уменьшается. Этот постоянно изменяющийся темп и лежит в основе непрерывного роста и распада.

Спустя три года, у нас останется 10 × e-1 × 3 = 0.498 кг. Мы использовали отрицательную степень для распада – нам нужна дробь (1/eп × в) вместо произведения роста (еп × в). (Распад обычно дается в контексте «полураспада» — мы поговорим о преобразовании этих показателей в другой статье).

Больше примеров

Если вы хотите более сложные примеры, попробуйте формулу опционов Блэка-Шоулза (число е используется для экспоненциального снижения в цене) или радиоактивный распад. Цель таких примеров — дать человеку увидеть еп × в в формуле и понять, почему она там: это и моделирует прирост или распад.

Сейчас вы знаете, почему константа называется «е», а не «пи» или другое какое-то число: е, возведенная в степень «п × в», позволяет оценить влияние коэффициента прироста П и времени В.

 

Категория: Статьи других авторов | Добавил: aaa2158 (13.11.2015)
Просмотров: 1501 | Комментарии: 9 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 9
avatar
0
1
Очень хотелось бы, чтобы "бестолковый научный жаргон" был заменён в математике на толковое объяснение по всем проблемным вопросам математики.  Например,  не мешало бы дать толковое физическое объяснение иррациональных чисел, действий с нулём, действий с отрицательными числами.
avatar
2
Спасибо за перевод. Вы меня просто спасли.
avatar
3
Продолжение есть? Очень интересная статья!
avatar
0
4
А, что продолжать? Суть числа "е" полностью и по-моему доходчиво раскрыта. Есть примеры. Теперь только применяйте для своих расчётов со знанием дела.
avatar
5
Тогда про Пи - зависимость между прямыми и "кривыми", а точнее говоря, между двумя и тремя точками, если последние не на одной прямой. Можно сказать "константа пространственно-числового континуума". А про е - довольно сложное объяснение, надо статью прочитать, чтобы понять ).
avatar
0
6
Не совсем с вами согласен. Через две точки действительно можно провести только одну прямую линию. А вот три точки не определяют кривую так же однозначно, как две - прямую. Три точки говорят лишь о том, что- это уже не прямая, а кривая. Но какая именно кривая - однозначно сказать невозможно, т.к. через три точки, впрочем, как и через две можно провести бесконечное множество кривых, а одну только окружность. Зависимость между «прямыми» и дугами окружности в современной математике определяет не число «пи», а величина, обратная радиусу. Но число «пи» от радиуса и, следовательно от кривизны не зависит: (π = D / R = π * R / R → π = π). Как видите, после сокращения радиуса остаётся число «пи», равное самому себе. Это говорит о том, что число «пи» - это характеристика не кривизны, а формы кривой. Я даже не буду добавлять, что это именно замкнутая кривая, т.к. о форме можно говорить только в том случае, если её можно обозначить только замкнутой линией.
Если линия не замыкается, то нет и определённой формы, т.е. в этом случае форма ни линии, ни физических тел не определена. Ну, а что касается понимания, то тут тоже не всё так просто, как кажется на первый взгляд. Прочитав статью про «е» вы вовсе не достигли понимания её физической сути, т.е. вы так и не получили для себя ответ, почему непрерывный рост определяется именно числом «е», а не «пи». Вы просто узнали, что определяет число «е». Но то же самое можно сказать и о числе «пи». Из школы вам известно, что «пи» это эталон формы замкнутой кривой линии, которая представляет собой окружность. Но почему этот эталон равен именно «3,14», а не «2,7» вы так и не знаете. И никто не знает. Это просто объективная реальность. Её можно только описать, но понять очень трудно, если не невозможно. Она просто есть, независимо от нашего сознания, и нам остаётся только принять её. Но принять так, чтобы знать, что определяет «е», а что «пи».
Так что и в том и в другом случае объяснения одновременно и одинаково сложные, и одинаково простые. Сложные в том, что мы не в состоянии понять их физическую суть, а простые, потому что они определяют существующий порядок вещей, который мы легко можем установить и понять. Да и то, понять можно только то, что выражают понятными всем словами. Эталон (образец) формы разной кривизны - это понятно каждому. Этим эталоном совместно с понятием кривизны можно в принципе определить форму любой замкнутой кривой с любой кривизной, вписывая в неё разные окружности. Тогда с помощью координат центров этих окружностей и их радиусов можно записать и воспроизвести любую форму.
А вот что такое "константа пространственно-числового континуума" лично я хоть убейте – не пойму. Континуум в переводе означает – сплошность, непрерывность. Ну и какая по-вашему пространственно-числовая непрерывность (сплошность) в константе «пи» или в константе «е». Ведь «е» так же, как и «пи» с одинаковым успехом или скорее с одинаковым неуспехом можно назвать «константой пространственно-числовой сплошности? Разве не так? В чём разница-то? Зачем нужен этот бестолковый научный или около научный жаргон, который ничего, кроме бессмысленности, собственно не отражает и не означает?
avatar
7
Насколько я пронимаю, в этих вещах математика уходит в философию, например, по формуле Эйлера действительно всё сотворено из ничего - взаимодействие пяти фундаментальных констант в итоге даёт ноль, но ноль - число, говорящее о возможных взаимодействиях. Это действительно красота философии в математических законах! Я не математик, но тема меня затронула, а потому я попытался мыслить и объяснять не классическими определениями из энциклопедий и справочников. Прошу прощения за профессиональные неточности и недопонимание. Думаю, автор статьи и переводчик стремятся к тем же целям - достичь большего в понимании сакрального. 
Думаю, парадокс в области между сингулярностью и непрерывностью мироздания. Замкнутые кривые (а почему только замкнутые?) характеризуются Пи - отношением прямой радиуса к кривой окружности, разве не так? Я не имею в виду характеристику самой кривизны как свойства кривой.
Если Пи можно вывести из области геометрических построений, т.е. величины физического мира, то е - история именно численных методов, насколько я понимаю. Т.е. это характеристика исключительно численных построений! Интересно предположить, что было бы, как говорят физики, с миром на других фундаментальных константах? Т.е. логика мира содержит е, т.е. как понимать, что экспонента - самая быстровозрастающая функция, если логика говорит против этого? Ведь разум представляет числа в знаковом выражении и это никак не укладывается в сознании, что е обгоняет всех на трассе бесконечности.
avatar
0
8
Насчёт формулы Эйлера ничего пока сказать не могу, т.к. не совсем понял, что вы имеете в виду. А вот насчёт различий, которые вы обозначили в отношении "пи" и "е" я опять с вами не совсем согласен. Разве "пи" можно вывести из геометрических построений? Число "пи" можно определить, но как его вывести мне не понятно. На  мой взгляд это не возможно. Если вы знаете такой вывод - поделитесь, пожалуйста.
Число "е" так же не выводимо. Его можно только определить. И это вовсе не просто характеристика исключительно численных построений. Это характеристика природных процессов, т.е. это физическая величина.
avatar
9
спасибо большое, теперь хоть понятно, откуда появилась " е "
avatar