MENU
Главная » Статьи » Физика и математика » Мои статьи

Определение силы и ускорения Кориолиса при помощи мерной динамики вращательного движения.

Яндекс.Метрика

Поскольку угловая скорость переносного вращения в соответствии с «физическим смыслом» классической модели явления Кориолиса поддерживается неизменной, - Фейнман определяет силу Кориолиса дифференцированием момента силы Кориолиса в предположении, что переменной величиной является радиус. В классической модели явления Кориолиса с постоянной угловой скоростью просто больше нечего дифференцировать. Однако переносное движение с изменяющимся радиусом представляет собой совокупность виртуальных вращательных движений разного вида, образующих движение по разным спиралям, которые не могут описываться одним общим уравнением динамики вращательного движения, а вовсе не динамики спиралей! По этой же причине поворотное движение с изменяющимся радиусом нельзя дифференцировать не только по радиусу, но и по угловой скорости! 

Как отмечалось выше в главе 3.5.2 и в начале настоящей главы, для того чтобы определить классическую силу Кориолиса через уравнение динамики вращательного движения необходимо привести поворотное движение к эквивалентному вращательному движению единого вида, осуществляющемуся в единой системе координат с единым масштабом, т.е. к вращательному движению с постоянным эквивалентным радиусом. Таким эквивалентным вращательным движением является мера пространства вращательного движения – мерный радиан, имеющий размерность (rо = 1 [мо]).

Необходимым и достаточным условием для определения приращения вращательного движения с неизменным радиусом, как приращения окружного движения, т.е. без учёта энергетических затрат закручивающей силы на преобразование движения по направлению, является приращение угловой скорости. При постоянном радиусе она является только коэффициентом пропорциональности приращения линейного окружного движения, выраженного через размер радиуса и ни чем более.

С учётом истинной силы Кориолиса структура приращения поворотного движения по линейной скорости переносного вращения для радиального движения от центра вращения выглядит следующим образом.

(- Vли = - ω2 * r2) О → (Vлн = ω1 * r1) (Vлд = ω1 * r2)

Fкп  =    (Fкс→ О Fки      Fкд→)  

где:

О – исходное вращение без радиального движения

Fки – истинная сила Кориолиса

Fкс – статическая сила Кориолиса

Fкд – динамическая сила Кориолиса

Fкп – полная сила Кориолиса

Vли – истинная линейная скорость, которую тело приобретает под действием истинной силы Кориолиса

Vлн – начальная линейная скорость исходного вращательного движения

Vлд – динамическая линейная скорость, которую тело приобретает под воздействием динамической силы Кориолиса

ω1 – исходная угловая скорость

ω2 – угловая скорость, которая устанавливается в каждом интервале времени дифференцирования при радиальном движении в отсутствие прямых тангенциальных сил.

Стрелочками обозначено направление действия сил (Fки; Fкс→; и Fкд→). Влево - уменьшение угловой и линейной скорости. Вправо - увеличение или поддержание угловой и линейной скорости.

Поясним приведённую структуру.

Линейная скорость переносного вращения в отсутствие поддерживающей силы Кориолиса изменяется от начального значения (Vлн = ω1 * r1) до значения истинной линейной скорости (Vли = ω2 * r2), обеспечиваемой истинной силой Кориолиса (Fки). Следовательно, поддерживающая сила Кориолиса, за счёт которой угловая скорость сохраняется на неизменном уровне (ω1) должна изменять линейную скорость во всём диапазоне от значения (Vли = ω2 * r2) до значения (Vлд = ω1 * r2).

При этом статическая составляющая напряжения Кориолиса и истинная сила Кориолиса (Fкс→Fки) компенсируют друг друга, потенциально обеспечивая разное направленное приращение движения от значения линейной скорости (Vли = ω2 * r2) до исходной линейной скорости (Vлн = ω1 * r1) и обратно. Приращение линейной скорости от её исходного значения (Vлн = ω1 * r1) до конечной линейной скорости (Vлд = ω1 * r2), обеспечивает динамическая составляющая силы Кориолиса (Fкд→).

 Любая сила определяется не только геометрическим приращением движения материальной точки, но и затратами на преодоление сил противодействия движению. Следовательно, для определения полного силового напряжения Кориолиса (Fкп) необходимо учитывать не только реальную динамику приращения поворотного движения, но и её потенциальное непроявленное приращение, компенсируемое истинной силой Кориолиса, которая препятствует полному геометрическому приращению движения, вызываемому полной силой Кориолиса.

Таким образом, в соответствии с приведённой выше структурой реальных и потенциальных приращений абсолютная величина полного силового напряжения Кориолиса с учётом истинной силы Кориолиса определяется изменением линейной скорости от (Vли = ω2 * r2) до (Vлд = ω1 * r2). Зная граничные значения линейной скорости поворотного движения (Vли = ω2 * r2) и (Vлд = ω1 * r2), определим граничные угловые скорости приведённого вращения (ω1рад) и (ω2рад) для этих линейных скоростей, как частное от деления граничных линейных скоростей на меру вращательного движения (rо).

ω1рад = ω2 * r2 / rо

ω2рад = ω1 * r2 / rо

Отсюда приращение угловой скорости эквивалентного вращательного движения для определения полной силы Кориолиса равно:

Δωрад = ω2 рад  -  ω1рад = ω1 * r2 / rо - ω2 * r2 / rо                                          (5.5.1)

Тогда уравнение динамики вращательного движения приведённого к общему эквиваленту примет вид:

Fрад = Fк = ((m * rо * Δωрад) / Δt)                                                           

где

Fк: сила Кориолиса.

С учётом (5.5.1) получим:

Fк = m * rо * (ω2 * r2 / rо – ω1 * r2 / rо) / Δt                                                 (5.5.2)

или

Fк = (m * rо * Δωрад) / Δt                                                                             (5.5.3)

Поскольку

Δωрад / Δt = εрад,

то после дифференцирования выражения (5.5.3) в предположении, что переменной дифференцирования является (Δωо) сила Кориолиса определится также следующим выражением:

Fк = m * rо* εрад                                                                                                                (5.5.4)

Как видно выражение (5.5.3), (5.5.4) отличаются от привычной традиционной формулы для силы Кориолиса. В них отсутствует множитель «2», а также радиальная скорость относительного движения и угловая скорость переносного вращения. Зато присутствует радиус, который нельзя дифференцировать по времени, т.к. по физическому смыслу динамики вращательного движения это величина постоянная.

С учётом меры вращения (rо) выражение (5.5.3) и (5.5.4) можно переписать в символах динамики Ньютона:

Fк = (m * rо * Δωрад) / Δt = (m * rо * Δω * r / rо) / Δt =

 = m *  Δω *r / Δt = m *  ΔV/ Δt = m * ак                                                          (5.5.3*)

или

Fк = m * rо* εрад = m * rо * ε * r / rо = m * ε * rm * ак                                   (5.5.4*)

Поскольку мы фактически вели расчёт по приращению линейной скорости переносного вращения, то совершенно очевидно, что ускорение Кориолиса (ак) определяет только приращение линейной скорости по абсолютной величине. Об этом же свидетельствует и мерная вращательная динамика (см. выражения (5.5.3*) и (5.5.4*)). Никакого центростремительного ускорения по вращению радиальной скорости в его составе нет. Приращение угловой скорости во вращательном движении с постоянным радиусом свидетельствует о приращении только линейной скорости вращения.

Таким образом, предложенный подход к динамике вращательного движения через меру вращения – образцовый радиан, имеющий размерность один метр вращения [мрад], позволяет установить истинный смысл явления Кориолиса, который в классической физике настолько глубоко спрятан в различных абстракциях в виде всяческих моментов, что вот уже более 200 лет его никто не может отыскать.

Для того чтобы иметь возможность сравнивать величину ускорения Кориолиса, полученного с помощью размерного образцового радиана с классическим ускорением Кориолиса необходимо привести полученные нами выражения к традиционному классическому виду с использованием соотношений второго закона Кеплера / ω2 = r22 / r12).

В традиционной формуле ускорение Кориолиса, как известно, определяется через угловую скорость переносного вращения и радиальную скорость относительного движения. Для приведения полученных выражений к традиционному виду преобразуем выражение (5.5.1) следующим образом:

Δωрад  = ω2рад- ω1рад = ω1 * r2 / rо - ω2 * r2 / rо =

= (ω1 * r2 - ω2 * r2) / rо                                                                                                          (5.5.5)

Выразим (ω2) через (ω1) в соответствии со вторым законом Кеплера / ω2 = r22 / r12):

ω2 = ω1 * r12 / r22

Подставим полученное выражение для (ω2) в (5.5.5):

Δωрад  = (ω1 * r22 – ω1 * r12) / (r2 * rо) = ω1 * (r22 – r12) / (r2 * rо)

Примем во внимание, что:

r1 = Vr * t

r2 = Vr * (t + Δt)

ω1 = ω

тогда:

Δωрад  = Vr2 * ω * (2 * t * Δt + Δt2) / (Vr * (t + Δt) * rо)

Подставим полученное выражение в (5.5.3):

Fк = (m * rо* Δωрад) / Δt =

= (m * rрад* Vr2 * ω * (2 * t * Δt + Δt2) / (Vr * (t + Δt) * rрад)) / Δt

Сократим полученное выражение для силы Кориолиса на (Vr * rрад):

Fк = (m * Vr * ω * (2 * t * Δt + Δt2) / (t + Δt)) / Δt

Преобразуем полученное выражение следующим образом:

Fк = (m * Vr * ω * 2 * Δt * (t + Δt / 2) / (t + Δt)) /Δt

После сокращения на (Δt) получим:

Fк = 2 * m * Vr * ω * (t + Δt / 2) / (t + Δt)

Для малых значений (Δt) в некотором приближении можно допустить:

t + Δt / 2 ≈ t + Δt

Тогда после сокращения выражение для полной силы Кориолиса примет вид:

Fкп ≈ 2 * m * Vr * ω * (t + Δt / 2) / (t + Δt)

≈ 2 * m * Vr * ω                                                                       (5.5.6)

Выражение (5.5.6) абсолютно идентично классическому выражению для силы Кориолиса, в котором присутствует и «двойка», и угловая скорость переносного вращения, и линейная скорость радиального относительного движения. Однако мы произвели расчёт в полном диапазоне изменения угловой скорости (Δωрад = ω2 рад  -  ω1рад), искусственно дождавшись пока истинная сила Кориолиса доведёт её до значения (-ω1рад), что заведомо меньше начальной неизменной угловой скорости, т.е. точки отсчёта, от которой считается классическая сила и ускорение Кориолиса. А затем определили закручивающую силу от этой отметки при неизменной угловой скорости, но растущей линейной скорости, что в мерной динамике в любом случае означает увеличение угловой скорости. 

По-другому определить непроявленные движения просто невозможно. Для того чтобы определить параметры отсутствующего в реальной действительности движения необходимо сначала дать ему проявиться, хотя бы мысленно, что мы и сделали выше. Однако не следует забывать, что движение от исходной угловой (линейной) скорости до угловой (линейной) скорости которую приобретает вращающаяся система в отсутствие поддерживающей силы, и обратно до исходной угловой скорости в присутствии поддерживающей силы, было учтено в нашем расчёте именно мысленно. В реальной действительности этого движения нет потому, что его компенсирует часть классической поддерживающей силы. А образующееся при этом статическое напряжение в составе классической силы Кориолиса не имеет никакого отношения к динамике поворотного движения.

Тем не менее, эта статическая часть и приводит к удвоению классической силы Кориолиса, которое в классической физике связывают с центростремительным ускорением вращения вектора радиальной скорости именно потому, что центростремительное ускорение в классической физике не имеет линейного приращения движения. Это очень подходящий факт для совершения подлога (мошенничества) при определении ускорения Кориолиса, что и было сделано в классической физике с помощью классической лже динамики вращательного движения. 

Но, как мы показали выше, классическая динамика вращательного движения не учитывает затраты на преобразование движения по направлению, которые и показывает классическое же центростремительное ускорение. Следовательно, привлечение классической физикой в явление Кориолиса центростремительной составляющей, убедительно свидетельствует, как о самом указанном выше подлоге, так собственно и о несостоятельности классической динамики вращательного движения, которая не видит затрат на преобразование движения по направлению в принципе. 

Приведённый выше вывод основан на реальной структуре реальных и потенциальных (мысленных) приращений поворотного движения, из которой следует, что силовое напряжение Кориолиса состоит из двух составляющих. Это статическая сила Кориолиса, которая не вызывает геометрического ускорения, т.к. ей противостоит истинная сила Кориолиса и динамическая сила Кориолиса, которая и обеспечивает реальное геометрическое ускорение Кориолиса. Это можно подтвердить, определив значения всех составляющих силы Кориолиса, на основе приведённой выше мерной динамики вращательного движения, которая честно основана только на тангенциальных силах поступательного окружного движения без учёта затрат на преобразование движения по направлению. 

Начнём с динамической составляющей силы Кориолиса. Как показано выше динамическая составляющая силы Кориолиса (Fкд→) обеспечивает реальное изменение линейной скорости в диапазоне (Vлн = ω1*r1 (Vлд = ω1*r2). Граничные угловые скорости приведённого вращения (ω1рад) и (ω2рад) для этих линейных скоростей равны:

ω1рад = ω1 * r1 / rо

ω2рад = ω1 * r2 / rо

Тогда:

Δωрад = ω1 * r2 / rо- ω1 * r1 / rо

Для простоты подстрочный индекс для динамической силы Кориолиса (Д) опущен.

Подставив приращение угловой скорости поворотного движения для динамической силы Кориолиса в (5.5.3) получим выражение для динамической силы Кориолиса:

Fк = m * rо * (ω1 * r2 / rо - ω1 * r1 / rо) / Δt                                                 (5.5.7)

Теперь приведём выражение (5.5.7) к традиционному виду аналогично приведению к традиционному виду полной силы Кориолиса (см. выше).

Выразим граничные радиусы через радиальную скорость:

r1 = Vr * t

r2 = Vr * (t + Δt)

тогда:

Δωрад = ω1 * r2 / rо  - ω1 * r1 / rо = ω1 * Vr * (t + Δt - t) / rо =

= ω1 * Vr * Δt / rо

Поскольку

ω1 = ω,

то выражение для приращения угловой скорости примет вид:

Δωрад = ω * Vr *Δt / rо

После подстановки найденного приращения угловой скорости (Δωо) в выражение (5.5.7) и сокращений получим физическое значение динамической силы Кориолиса:

Fкд = m * rо * ω * Vr * Δt / rо* Δt = m * Vr * ω                                          (5.5.8)

Как видно из полученного выражения, динамическая сила Кориолиса (5.5.11) сообщает геометрическое, т.е. реальное приращение классическому поворотному движению с неизменной угловой скоростью вдвое меньшее, чем классическая сила Кориолиса.

Теперь найдём физическое значение статической составляющей силы Кориолиса, которая компенсирует истинную силу Кориолиса в диапазоне изменения линейной скорости от (Vли = ω2 * r2) до (Vлн = ω1 * r1). Для определения граничных угловых скоростей приведённого вращательного движения для статической составляющей силы Кориолиса разделим граничные линейные скорости (Vли = ω2* r2) и (Vлн = ω1* r1), на радиус образцового вращательного движения.

ω1рад = ω2 * r2 / rо

ω2рад = ω1 * r1 / rо

Индекс статической составляющей (С) для простоты опущен.

Приращение угловых скоростей образцового вращательного движения равно:

Δωрад = ω1 * r1 / rо – ω2 * r2 / rо

Подставив в (5.5.3) приращение угловой скорости поворотного движения для статической силы Кориолиса, пересчитанное к образцовому радиану получим физическое выражение для статической силы Кориолиса:                

Fк = m * rо * (ω1 * r1 / rо– ω2 * r1 / rо) / Δt                                                      (5.5.9)

Теперь приведём выражение (5.5.9) к традиционному виду. Для этого преобразуем приращение угловой скорости следующим образом:

Δωрад = ω1 * r1 / rо– ω2 * r2 / rо =

= ω1 * r1 / rо - r2 * ω1 * r12 / (r2* rо) = ω1 * r1 / rо - ω1 * r12 / (r2 * rо) =

= ω1 * (r1 * r2 - r12) / (r2 * rо) = ω1 * r1 * (r2 - r1) / (r2* rо)

Но:

r2 - r1 = Δr = Vr * Δt

Тогда

Δωрад = ω1 * r1 * Vr * Δt / (r2 * rо)

Выразим радиусы (r1) и (r2) через радиальную скорость и учтём, что (ω1 = ω):

r1 = Vr * t

r2 = Vr * (t + Δt)

ω1 = ω

Тогда

Δωрад = ω * Vr2 * t * Δt / (rо *  Vr * (t + Δt)) =

= ω * Vr * t * Δt / (rо * (t + Δt))

При малом (Δt):

 t + Δtt

Тогда:

Δωрад ω * Vr * Δt / rо                                                                                (5.5.10)

Подставим (5.5.10) в (5.5.9):

Fкс ≈ m * rэ * ω * Vr * Δt / rэ * Δt ≈ m * Vr * ω                                           (5.5.11)

Расчёт истинной силы Кориолиса полностью аналогичен расчёту статической силы Кориолиса, причем, в том же самом диапазоне изменения угловой и линейной скоростей. Естественно, что аналогичным будет и результат расчёта истинной силы Кориолиса. Поэтому мы не будет его приводить подробно, а лишь напомним, что истинная сила Кориолиса направлена противоположно поддерживающей силе, следовательно, она полностью компенсирует статическую составляющую поддерживающей силы.

Таким образом, мы подтвердили нашу версию явления Кориолиса строгим математическим расчётом.

При приведении значений полной и статической силы Кориолиса к классическому виду мы использовали условные допущения, что в малом интервале времени должно выполняться примерное равенство (t + Δt / 2 ≈ t + Δt) и (t + Δtt) соответственно. Для истинной силы Кориолиса, вывод которой абсолютно аналогичен выводу статической составляющей, также предполагается допущение (t + Δtt). В точности соответствует половине классической силы Кориолиса только динамическая составляющая полного силового напряжения Кориолиса в нашей версии. Это математическая причина неточного соответствия составляющих напряжения Кориолиса кратности «2» (см. Рис. 5.5.1).

Наш расчёт по умолчанию приведён для радиального движения от центра вращения, когда конечный радиус (r2) определяется по фрмуле (r2 = Vr * (t + Δt)). В этом случае принятые условно математические допущения приводят к завышенному результату расчётов. При радиальном движении к центру вращения радиус (r2) будет определяться по формуле (r2 = Vr * (t - Δt)). В этом случае допущения приведут к заниженному результату (см. Рис. 5.5.1).

Рис. 5.5.1

Физическая причина указанного несоответствия связана с неточным соответствием теоретического соотношения угловых скоростей в зависимости от обратного соотношения квадратов радиусов. Дело в том, что теоретическое соотношение угловых скоростей в процессе поворотного движения неправомерно принимается в классической физике, как их соотношение в установивихся равномерных вращательных движениях до и после поворотного движения. В реальной действительности в процессе поворотного движения теоретическое соотношение не соблюдается.

Это связано со сдвигом фазы вращения линейной скорости спирали во время радиального движения по отношению к линейной скорости виртуального переносного вращения. Линейная скорость спирали в зависимости от направления радиального движения либо отстаёт по фазе от поворота линейной скорости виртуального равномерного переносного вращения на текущем радиусе при радиальном движении от центра вращения, либо опережает её при движении к центру вращения. Соответствующим образом ведёт себя и текущая угловая скорость в процессе поворотного движения.

При радиальном движении от центра вращения текущая угловая скорость уменьшается по сравнению с угловой скоростью установивишегося вращения на этом же радиусе, а при движении к центру вращения увеличивается. В результате сила Кориолиса при радиальном движении от центра вращения уменьшается по сравнению с теоретическим значением, рассчитанном исходя из теоретического соотношения угловых скоростей, а при движении к центру вращения увеличивается.

Необходимый до теоретического значения дополнительный поворот линейной скорости спирали в ту или иную сторону осуществляется только после прекращения радиального движения за счёт дополнительных затрат внешней радиальной силы. При этом линейная скорость спирали становится линейной скоростью установившегося вращательного движения. Причём при радиальном движении от центра вращения линейная скорость установившегося вращательного движения скачкообразно увеличивается, что приводит к увеличению угловой скорости, а при движении к центру вращения уменьшается, что приводит к уменьшению угловой скорости.

Наш вывод формул составляющих силы Кориолиса производился по теоретическому соотношению угловых скоростей в зависимости от обратного соотношения квадратов радиусов (второй закон Кеплера). Поэтому мы получили, неточную кратность двум во всех формулах составляющих напряжения Кориолиса, кроме динамической силы Кориолиса. При расчёте динамической силы Кориолиса неточное теоретическое соотношение (V1 * r1 = V2 * r2) не применяется, т.к. в расчёте участвует только одно заданное значение угловой скорости, что и обеспечивает точную кратность.

Как показано в главе 3.5 несоответствие теоретического соотношения угловых скоростей с этим же соотношением в процессе поворотного движения связано с дополнительными затратами с тем или иным знаком на образование установившегося вращения. С увеличением радиуса это несоответствие уменьшается (см. Рис. 5.5.1), т.к. на больших радиусах уменьшается отклонение линейной скорости спирали от линейной скорости переносного вращения и соответственно уменьшается необходимый дополнительный поворот скорости спирали при образовании установившегося вращения. Поэтому с увеличением радиуса и соответственно потерь на преобразование движения по направлению при установлении равномерного вращения сила Кориолиса, рассчитанная исходя из теоретического соотношения угловых скоростей в зависимости от обратного соотношения квадратов радиусов всё меньше отличается от теоретического значения (см. Рис. 5.5.

Подробнее см. Астахов А. А. "Физика движения", гл. 4.1

Категория: Мои статьи | Добавил: aaa2158 (15.06.2016)
Просмотров: 127 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar