MENU
Главная » Статьи » Физика и математика » Мои статьи

Физические ошибки дифференцирования. Часть II.

Яндекс.Метрика

При этом стремление к нулю относительной погрешности математически объясняется стремлением к нулю её числителя, т.е. абсолютной погрешности (α (dx) → 0). Однако, как мы уже неоднократно отмечали, математика — это не самостоятельная наука. Математика — это физика, записанная в условных символах и знаках. Но тогда последнее выражение — это неправильная запись физики.

 

Во-первых, при дифференцировании в любом диапазоне изменения аргумента определяется только среднее значение функции, которое теоретически тем дальше от её истинного значения, чем больше усредняемых значений в диапазоне её изменения. При этом в математике очевидным путём для уменьшения количества усредняемых точек является уменьшение диапазона её изменяемых значений. Однако это всего лишь ничем не обоснованная математическая иллюзия которая самой же математикой и опровергается.

В реальной действительности при стремлении интервала дифференцирования к нулю пропорционально стремятся к нулю и все его точки, т.к. они, как минимум являются одним целым со своим отрезком траектории или графиком функции. Причём абстрактно математическое понятие «бесконечность» это в точности подтверждает. Действительно, бесконечно малый диапазон мтематически содержит бесконечно большое количество бесконечно малых точек. При этом количество усредняемых и непредсказуемых значений переменной функции и соответственно погрешность дифференцирования не может зависить от величины интервала дифференцирования.

Кроме того, классическое умножение на нуль, в результате которого якобы получается нуль, не соответствует действительности. Как показано в предыдущей главе (6.1), нулевой множитель означает лишь отсутствие клонов умножаемого, применяемых в виде дополнительных слагаемых к уже существующему слагаемому (умножаемому) в эквивалентной базовой операции сложения. Но отсутствие дополнительных слагаемых вовсе не означает отсутствия исходного слагаемого (умножаемого), т.е. его обнуление. Ведь осутствие второго слагаемого в базовой операции сложения, обозначаемого нулём, вовсе не приводит к обнулению исходного слагаемого и соответственно суммы (Х + 0 = Х).

Но поскольку базовой операцией всех арифметических операций является сложение, то в отсутствие клонов умножаемого операция умножения на нуль эквивалентна сложению умножаемого с нулём, в результате которого получается не нуль, а значимый операнд, т.е. умножаемое. Следовательно, даже если абсолютная погрешность дифференцирования будет равна нулю, относительная погрешность при этом будет иметь ненулевую конечную величину, равную дроби: (∆δотн. = 1./ (f′ (x) dx)).

Во-вторых, для бесконечного количества точек погрешность дифференцирования вообще не может быть определена в принципе, т.к. математически результат такой операции недостижим. Именно поэтому, даже в математике бесконечное дифференцирование фактически прерывается, в конце концов, знаком примерного равенства:

f (x) f (x0) + f′ (x0) dx

В-третьих, минимизация интервала дифференцирования при его бесконечном стремлении к предельной точке не предполагает, в том числе и точного определения координат точки текущего значения функции, т.к. они непрерывно изменяются. Повышается только вероятность определения её местоположения в ближайших окрестностях предельной точки, что также не добавляет смысла классическому дифференцированию.

 

Таким образом, при существующем математическом определении предела и дифференцирования функции погрешность абсолютного значения функции так же, а так же погрешность её локализации остаётся неопределённой, что лишает физического смысла и само классическое дифференцирование.

Очевидно, что уменьшение количества усредняемых точек функции и соответственно уменьшение погрешности дифференцирования в любом интервале приращения функции физически возможно только для точек конечного размера, составляющих этот интервал. Поэтому все перечисленные выше противоречия связаны исключительно только с физически неопределённым понятием бесконечно малых точек в стремящемся к нулю интервале дифференцирования.

Очевидно, что уменьшение количества усредняемых точек функции и соответственно уменьшение погрешности дифференцирования в любом интервале приращения функции физически возможно только для точек конечного размера, составляющих этот интервал. Поэтому все перечисленные выше противоречия связаны исключительно только с физически неопределённым понятием бесконечно малых точек в стремящемся к нулю интервале дифференцирования.

Бесконечное дробление интервала дифференцирования на всё более малые интервалы и приводит к понятию бесконечно малых точек, в результате чего и возникают множественные физические парадоксы. Например, в известной всем задаче под названием «Догонит ли Ахиллес черепаху?». Физически он её безусловно догонит, а вот математически – никогда. Математически их соревнование будет происходить во всё более малых интервалах и будет длиться вечно и безрезультатно. Но существующее дифференцирование – это точно такая же бессмысленная и невыполнимая задача, по крайней мере в теории.

Очень трудно представить что-то бесконечно большое или бесконечно малое, т.к. в любом случае это что-то является бесконечным, т.е. не предусматривающим конкретного конечного решения. Однако если во всех точках интервала имеется одно конкретное решение, то размеры интервала не имеют значения. В этом смысле весь интервал - это одна большая точка, которой ни к чему быть бесконечно малой. Поэтому главное в вопросе минимизации погрешности в точке состоит в том, что она должна быть бесконечно одной, что исключает разброс решений в нескольких точках.

Очевидно, что бесконечно малый интервал дифференцирования теоретически, как раз и преследует цель определения такой бесконечно одной точки, чтобы обеспечить единство измерения параметров переменных функций с помощью единого стандартного геометрического измерительного эталона в виде гипотетической геометрической точки. Однако:

 

Во-первых, геометрический нуль в виде геометрической точки не может быть измерительным эталоном чего-либо, т.к. нуль это символ, обозначающий ничто.

Во-вторых, переменная функция — это фактически последовательное сочетание разных функций. Физически разные значения переменной функции, конечно же, можно объединить единым эталоном, но это может быть только средний эталон, усредняющий все эти значения с определённой точностью. При этом средний эталон может иметь только конечные ненулевые размеры.

 

В-третьих, одна и та же точность усреднения для разного сочетания разных значений функции может быть достигнута разными по величине эталонами в зависимости от степени различия усредняемых значений функции. Плавно изменяющаяся переменная функция, состоящая из незначительно отличающихся усредняемых значений может быть с приемлемой точностью усреднена в достаточно большом интервале дифференцирования. В переменной функции, состоящей из резко отличающихся значений такая же точность может быть достигнута уже только в значительно меньшем интервале.

Следовательно, для разных переменных функций и при одинаковой, и тем более при разной точности их усреднения не может быть единого стандартного по геометрическим размерам эталона дифференцирования. И уж тем более это не может  быть геометрическая точка.

 

Как показано выше, абсолютная погрешность классического дифференцирования есть величина постоянная, независящая от величины интервала дифференцирования, т.к. количество бесконечно малых точек не зависит от размера интервала. А вот относительная погрешность (∆δотн. = 1./ (f′ (x) dx)), даже при теоретически нулевой абсолютной погрешности зависит от величины алгебраического дифференциала в знаменателе.

Чем больше дифференциал – тем меньше относительная погрешность дифференцирования. Этот вывод прямо противоположен классическому дифференцированию, погрешность которого наоборот должна уменьшаться с уменьшением дифференциала. Однако в этом нет никаких парадоксов. Это свидетельствует лишь о том, что классическое дифференцирование теоретически ошибочно.

Как это ни странно для классического дифференцирования, но, при нулевой абсолютной погрешности, т.е. фактически при полном совпадении измерительного эталона с графиком функции, относительная погрешность действительно тем меньше, чем больше участок этого совпадения, т.к. больший участок охватывает и большее количество точек значений функции с абсолютным совпадением с измерительным эталоном, обладающим нулевой абсолютной погрешностью. Это и есть естественное разрешение этого кажущегося парадокса.

Из формулы (∆δотн. = 1./ (f′ (x) dx)) следует, что минимальная относительная погрешность никогда не равна нулю. При полном совпадении графика функции на всём его протяжении с абсолютным измерительным эталоном, относительная погрешность равна обратному значению дифференциала функции, что является размерной характеристикой самого эталона и его типа (либо прямолинейный, либо криволинейный эталон).

Совершенно очевидно, что размерная характеристика эталона и его типа (в математике – относительная погрешность) не может быть нулевой, т.к. для разных функций, как показано выше, необходимы и разные по типоразмеру эталоны. Нулевой может быть только абсолютная погрешность самого эталона в каждом его типоразмере.

Таким образом, физический смысл относительной погрешности функции в таком калибровочном дифференцировании показывает степень её приближения к эталону при стремлении абсолютной погрешности совпадения с эталоном к нулю.

Физический смысл относительной погрешности подтверждает нашу версию умножения на нуль, в которой в результате операции умножения на нуль получается значимый операнд (см. гл. 6.1). Как видите, в калибровочном дифференцировании это есть не что иное, как размерная характеристика эталона. В классической версии умножение на нуль даёт нуль, что означает полное отсутствие самих эталонов, без которых определение погрешности невозможно в принципе. Это ещё одно свидетельство ошибочности классического дифференцирования.

Нам же осталось только выяснить, что же является эталонами калибровочного дифференцирования разных переменных функций, т.е. найти для каждой функции бесконечно одну точку не зависимо от размера этой образцовой точки. Это не составит особого труда, т.к. природа сама позаботилась о своих эталонах в виде равномерных функций. Причём размеров у эталонов может быть много, а вот типов всего два. Это равноускоренное прямолинейное и вращательное движения.

Поскольку дифференцирование по своему физическому смыслу представляет собой обычное усреднение параметров переменной функции в любом диапазоне её значений, то при дифференцировании переменных функций фактически определяются их постоянные средние геометрические и динамические параметры. Но это и есть не что иное, как постоянные параметры равномерных функций.

Таким образом, при дифференцировании фактически осуществляется естественное сравнение переменных функций с их природными эталонами в виде равномерных функций, которые и являются природными измерительными эталонами калибровочного дифференцирования.

Естественно, что длина прямой линии или дуги окружности, на которых определяется средние параметры переменных функций, ограничена требуемой заданной точностью их определения, что и определяет типоразмер необходимого эталона. При этом не имеющие геометрических размеров геометрические точки классического дифференцирования в калибровочном дифференцировании превращаются в «прямолинейные и криволинейные точки», конечных эталонных размеров.

Это означает, что в теорию пределов следует внести существенные теоретические изменения. Нумерация (n) в функции (f(xn)), стоящей под знаком предела, должна стремится не к абстрактной бесконечности, а к номеру, соответствующему достижению заданного эталона калибровочного дифференцирования (nэ), т.е. бесконечно одной эталонной точки. Тогда приращение аргумента (∆х) в производной функции будет стремиться не к нулю, а к приращению аргумента функции, соответствующей, вписанному в неё заданному эталону, т.е. к (∆хэ).  Это снимает все противоречия классического дифференциального исчисления, связанные с понятием «бесконечность».

Причём, если классическая точка традиционно условно представляется круглой, то для калибровочного дифференцирования само тело точки не имеет никакого значения. Для прямолинейного движения имеет смысл только поперечный размер тела круглой точки, если уж она круглая. Это и есть бестелесная «прямолинейная точка». Для криволинейного движения имеет смысл длина и кривизна дуги окружности тела такой круглой точки. Это параметры бестелесной «криволинейной точки».

Поскольку для калибровочного дифференцирования важны только бестелесные размеры графика изменения функции, то точками их можно назвать только условно, т.е. в кавычках. Хотя трудно отрицать и то, что по своей бестелесности они всё-таки имеют некоторое родство с бестелесными геометрическими точками. Но именно конечные размеры калибров (эталонов) и отличают их от геометрических точек.

Таким образом, измерительным эталоном (калибром) неравномерного прямолинейного движения является конечная «прямолинейная точка» равноускоренного прямолинейного движения, размер длины которой удовлетворяет требованиям необходимой точности. Соответственно измерительным эталоном (калибром) произвольного криволинейного движения является вписанная в него с необходимой точностью по геометрическим размерам «криволинейная точка» равномерного (условно равноускоренного) вращательного движения (см. гл. 7.3).

В результате определения параметров функции методом калибровочного дифференцирования всегда присутствует заданная погрешность (± ∆δз), которая зависит только от типоразмера выбранного эталона. Эта погрешность неустранима, однако её всегда можно минимизировать подбором необходимого типоразмера эталона. При этом любые отступления от методики калибровочного дифференцирования приводят к дополнительной неустранимой методологической погрешности дифференцирования (∆δм):

Y = ∆f (x0) = f(x)dx + (± ∆δз)+ δм)

При дифференцировании неравномерного прямолинейного движения дополнительной методологической погрешности в классическом дифференцировании нет, т.к. хотя в современной математике и нет «прямолинейных точек», дифференцирование прямолинейного движения в классической физике фактически осуществляется именно в «прямолинейных точках». А вот дифференцирование произвольного криволинейного движения, которое в классической физике так же осуществляется в «прямолинейной точке» вместо «криволинейной точки», приводит к дополнительной методологической погрешности δм).

Дополнительная методологическая погрешность может либо минимизироваться в малом интервале времени, как, например, в классическом выводе центростремительного ускорения, либо сохранять своё значение в любом интервале времени, как, например, в поворотном движении. Для того чтобы показать ошибочность классического дифференцирования в физике, достаточно рассмотреть только эти два вида движения, т.к. они лежат в основе всех видов криволинейного движения. По крайней мере именно так это представлено в самой классической теоретической механике.

Начнём с определения центростремительного ускорения равномерного вращательного движения.

Фактически центростремительное ускорение якобы не равноускоренного движения, каковым в классической физике считается равномерное вращательное движение, как это ни странно, определяется с абсолютной точностью, как и ускорение равномерной функции. Количественная разгадка этой странности заключается в том, что в конечном итоге классическая физика фактически игнорирует собственную же неправильную методику. А физическая странность классической теории состоит в том, что официально это отступление не признаётся.

Рис. 3.2.2

Закон изменения вектора линейной скорости любого движения геометрически отражает его годограф. Годограф линейной скорости равномерного вращательного движения представляет собой дугу окружности с радиусом равным вектору линейной скорости. Однако классический вывод формулы центростремительного ускорения (см. Рис. 17, О. Ф. Кабардин «ФИЗИКА» МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1991 или Рис. 3.2.2, гл. 3.2), основанный на анализе соотношения сторон (АВ) и (СД) подобных треугольников (АОВ) и (СВД), принципиально сводится к определению центростремительного ускорения через прямолинейный разностный вектор (ΔV=СД).

В малом интервале времени стороны (АВ) и (СД) в этих треугольниках мало отличаются от соответствующих им одноимённых дуг окружности, которые опираются на стороны (АВ) и (СД) как на хорды. Поэтому в классическом выводе формулы центростремительного ускорения стороны треугольников (АВ) и (СД) в пропорции (R/(V*∆t) ≈ V/∆V) фактически подменяются одноимёнными дугами, на которые они опираются и которые являются реальными годографами соответствующих векторов. При этом знак примерного равенства автоматически превращается в знак равенства.

Но это и есть подмена понятий «прямолинейной точки» понятием «криволинейной точки». И хотя ни того, ни другого в классической физике не существует, минимизируемый прямолинейный разностный вектор это фактически и есть «прямолинейная точка», которую в конце концов подменяют «криволинейной точкой» в виде дуги годографа линейной скорости.

При этом в классическом выводе прямолинейный разностный вектор физически так официально и не превращается в «криволинейную точку». По крайней мере в выводе это никак не оговаривается. Следовательно, дуга годографа фактически является не элементом доказательства классического вывода, а элементом его опровержения.

Без физического признания «криволинейной точки», являющейся элементом совсем другой калибровочной методики дифференцирования криволинейного движения, знак примерного равенства в классическом выводе физически так и не устраняется, а его замена на знак равенства является не законной.

Классическая физика так не объяснила научному сообществу, каким образом ускорение не равноускоренного движения может быть определено с абсолютной точностью приблизительным методом дифференцирования. А так же, зачем нужно было дифференцировать равномерную функцию равномерного вращательного движения, которая сама является абсолютным калибром произвольного криволинейного движения.

Но это не единственный маразм дифференцирования криволинейного движения в классической физике.

В поворотном движении методологическая погрешность настолько велика, что её просто не возможно не заметить. Причём эта погрешность связана не только с отступлением от физического смысла дифференцирования, но и с ошибками многих классических теорем, касающихся в том числе самого годографа, явления Кориолиса (поворотного движения), классической теоремы о сложении ускорений Кориолиса, а так же теоремы о проекции ускорения точки на траектории на нормаль и тангенциальное направление. Однако это достаточно обширная тема, которая будет подробно рассмотрена в следующей главе (7.3). Здесь же мы продолжим только текущую тему.

В соответствии с классической кинематической схемой поворотного движения прирост радиуса переносного вращения осуществляется в отсутствие переносного вращения, а поворот радиуса переносного вращения в отсутствие изменения длины радиуса (см. гл. 4.). Поэтому классическая физика ошибочно рассматривает эти два приращения поворотного движения, как два разных и полноправных приращения поворотного движения, т.е. как две составляющие общего приращения поворотного движения. При этом общее приращение поворотного движения, определяется в виде их суммы, т.е. фактически в виде дуги окружности с максимальным радиусом переносного вращения (см. главу 4.1, Рис. 4.1).

Однако реально приращение поворотного движения осуществляется на каждом текущем радиусе при каждом текущем угловом положении траектории относительного движения одновременно. Поэтому реальное приращение поворотного движения определяется длиной дуги окружности со средним радиусом приращения переносного движения. При этом поворот вектора относительной линейной скорости, т.е. её, годограф одновременно определяет, как её приращение по направлению, так и приращение линейной скорости переносного вращения по абсолютной величине (см. глава 4.1, Рис. 4.16). 

Совершенно очевидно, что длина дуги окружности приращения со средним радиусом вдвое меньше длины дуги окружности приращения с максимальным радиусом в любом интервале времени. Поэтому даже без учета методологической погрешности, связанной с отступлением классического дифференцирования от нормальной «криволинейной точки», погрешность поворотного ускорения Кориолиса составляет в классической физике ровно 100%.

При этом классическая сила Кориолиса, определённая не каким-либо независимым способом, а только по классическому ускорению Кориолиса и массе, совпадает по абсолютной величине с реальным общим силовым напряжением в точке возникновения силы Кориолиса, т.к. в реальной действительности, поддерживающей угловую скорость силе противодействует истинная сила Кориолиса, равная половине поддерживающей силы.

Однако реальная кинематика и динамика криволинейного поворотного движения, как собственно и любого движения, характеризуется только не уравновешенной силой. Поэтому кинематика и динамика поворотного движения характеризуется только половиной классического ускорения Кориолиса.

Поворотное движение присутствует практически в любом произвольном криволинейном движении. Поэтому методологические ошибки определения приращения поворотного движения свидетельствуют не только о неправильной классической модели явления Кориолиса, но и о методологически неправильном дифференцировании сложного криволинейного движения во всей современной теоретической механике в принципе! Причём эти ошибки существуют в классической физике уже более 200 лет! Мы не говорим уже об отсутствии минимизации погрешности в классическом дифференцировании в принципе.

См. начало статьи

Подробнее см. А. А. Астахов "Физика движения", глава  6

Категория: Мои статьи | Добавил: aaa2158 (07.03.2017)
Просмотров: 121 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar