MENU
Главная » Статьи » Физика и математика » Мои статьи

Физические ошибки арифметических операций. Операции с нулём

Яндекс.Метрика

Прежде чем определить физический смысл арифметических операций уточним существующие понятия:

Операнд - величина, представляемая собой объект операции.

Операции определяют действия, которые надо выполнить над операндами (+, -, ×, :).

Сложение (прибавление) — одна из основных операций (действий) в разных разделах математики, позволяющая объединить два объекта (в простейшем случае — два числа). Более строго сложение — бинарная операция, определённая на некотором множестве, элементы которого мы будем называть числами, при которой двум числовым аргументам (слагаемым) a и b сопоставляется итог (сумма), обычно обозначаемый с помощью знака «плюс»: a + b.

Вычитание - действие, обратное сложению (См. Сложение); задачей В. является определение одного из двух слагаемых, когда даны сумма и другое слагаемое. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое — вычитаемым, результат действия — разностью. В области положительных чисел В. не всегда выполнимо (из меньшего числа нельзя вычесть большее). Это обстоятельство является формальным поводом для введения в арифметику нуля и отрицательных чисел; в расширенной таким образом числовой области В. всегда однозначно выполнимо.

Умножение - операция образования по двум данным объектам а и b, называемым сомножителями, третьего объекта с, называемого произведением. Умножение обозначается знаком «×» (ввёл англ. математик У. Оутред в 1631) или «•» (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а × b или а • b пишут ab. Умножение имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. Умножение целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b третье число с, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а, так что ab = а + а + ... + а (b слагаемых). Число а называется множимым, b – множителем.

Деление - действие, обратное умножению (См. Умножение); заключается в нахождении одного из двух сомножителей, если известны произведение и др. сомножитель. Т. о., разделить а на b — это значит найти такое х, что bx = а или xb = а. Результат Д. х называется частным, или отношением, a и b. Заданное произведение а называется делимым, а заданный множитель b — делителем. Для обозначения Д. употребляют знаки двоеточия (а : b) или горизонтальной (иногда наклонной) черты (a/b).

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте. Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральным рядом. Существуют два подхода к определению натуральных чисел — это числа, возникающие при: подсчёте (нумерации) предметов (первый, второй, третий) или при обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета). В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход.

Нуль - (нем. Null, от латин. nullus - никакой). Арабская цифра, сама по себе, ничего не значащая, но показывающая отсутствие того разряда цифр (в нумерации), на месте которого она стоит (правильнее сказать отсутствие цифр в разряде – авт.); поставленная после значащих цифр обозначает десятки, сотни, тысячи и т. д.

Для простоты будем рассматривать действия с натуральными числами.  

***

В природе количество предметов чего-либо определяется простым добавлением новых предметов в некоторую область пространства, путём их изменения в процессе физико-химических взаимодействий материи, либо в результате её механического движения. При этом определение общего количества предметов в этом пространстве осуществляется путём их нумерации (счёта) с присвоением каждому последующему элементу счёта порядкового номера на единицу большего, чем предыдущий.

Сам процесс счёта – это фактически операция сложения, простейшим слагаемым которого является одна единица счёта, т.е. один предмет нумерации, а суммой фактически называется последний порядковый номер нумерации. Из этого следует, что сколько бы предметов счёта мы не добавляли к уже существующему их количеству за один раз, либо за несколько раз и в каком угодно порядке – их общее количество определяется путём сквозной нумерации (подсчёта) предметов или единиц счёта, т.е. путём их последовательного сложения. Это и определяет все известные свойства сложения.

Все остальные арифметические операции это всего лишь различные алгоритмы того же самого счёта, позволяющие определять количественную взаимосвязь (соотношение) между различными операндами или группами операндов базового сложения (вычитания). Все эти алгоритмы созданы для облегчения определения сквозной нумерации итогового результата арифметических операций, если изначально известна только сквозная нумерация суммы, разности, произведения, делимого, а также отдельных операндов и соотношения между ними.

В математике существуют также более сложные математические операции: возведение в степень, извлечение корней, логарифмы и экспоненты. Но все они так или иначе построены на простейших арифметических операциях, т.е. в конечном итоге на базовом сложении (вычитании), что отчётливо выражено в алгоритмах подсчёта их результата столбиком. Есть табличный метод определения сложных операций. Однако физической основой таблиц также является базовая операции сложения (вычитания).

Таким образом, базовой арифметической операцией, лежащей в основе всех простейших арифметических и более сложных математических операций, является операция сложения (вычитания), физической основой которой является сквозная нумерация или счёт в ту или иную сторону.

Рассмотрим физический смысл простейших арифметических операций на примере операций с нулём. Именно операции с нулём и вызывают наибольшее количество вопросов по физическому смыслу всех арифметических операций, т.к. они не всегда соответствуют физическому смыслу определений арифметических операций и нуля. Итак, обо всём по порядку.

Сложение. По определению общая сумма должна определяться общим счётом (последовательной нумерацией), как минимум двух чисел (свойство бинарности). Однако в случае сложения одного значащего числа с нулём свойство бинарности сложения формально нарушается, т.к. нуль – это не число. Нуль –это цифра (символ), обозначающий отсутствие числа. Тем не менее, вопреки официальному определению сложения, суммой в математике однозначно признаётся даже один единственный значащий операнд (число), о чём свидетельствует существующее сложение (вычитание) с нулём:

0 + Х = Х + 0 = Х

Это официальное выражение нисколько не противоречит естественной нумерации (счёту), несмотря на то, что в нём только один значащий операнд, который по определению сложения слагаемым не является. Один операнд просто не с чем складывать. Однако, даже один операнд сам является суммой самого себя, т.к. он имеет собственную сквозную нумерацию, конечный номер которой и есть его сумма. Соответственно она же является и общей суммой операции с одним операндом (см. Рис. 6.1.1).

Рис. 6.1.1

На рисунке (6.1.1) видно, что сумма нуля со значащим операндом, представляющим собой, например, мешок с деньгами, равна собственному счёту (нумерации) денег в мешке при любом порядке сложения этих операндов. При этом даже, если единственный операнд представляет собой одну единственную единицу счёта, например, одну монету, то и это теоретически не нарушает свойства бинарности. Это всего лишь вопрос выбора единиц измерения или масштаба счёта, т.к. одна монета может быть представлена в виде суммы (счёта) более мелких монет.

Таким образом, бинарность в физике - это всего лишь вопрос выбора единиц измерения вещества предметов счёта, а в математике - масштаба единиц счёта. К тому же одна единица – это тоже счёт.

Некоторые математики не видят нарушения свойства бинарности в операциях сложения с нулём совсем по другой причине. Они считают нуль таким же полноправным числом, а значит и полноправным операндом, как и значащие числа. Однако не меньшее количество математиков так НЕ считают. А поскольку полного согласия в этом вопросе нет, то и то, и другое - это всего лишь личные предпочтения математиков. Однако математика не может опираться на личные предпочтения математиков, т.к. математика – это есть не что иное, как язык физики. Поэтому здесь и далее мы будем исходить только из физических соображений.

Число – это не просто второе лингвистическое название, т.е. синоним операнда. Физически любое число отражает количество чего-либо. И хотя официально числа в математике начинаются с десяти, количество заложено во все цифры от 1 до 9, кроме нуля. Нуль – это единственная цифра, символ, обозначающий как раз отсутствие количества по определению. Следовательно, физически, а значит и математически нуль – это не число. Но дело даже не в названии. Даже если назвать нуль числом, то это само по себе не наполнит его количеством. Он так и останется особым, пустым «числом», обозначающим пустой операнд, не способный ничего изменить ни в какой операции.

В представленной выше иллюстрации (см. Рис. 6.1.1) таким пустым числом является сам пустой мешок, который не способен изменить общий счёт денег, задействованных в операции. Пустой мешок – это и есть символ или цифра нуль, обозначающая отсутствие предмета счёта, т.е. денег в рассматриваемом примере (см. Рис. 6.1.2). Можно, конечно, дорисовать нулевой пустой мешок и в правой части равенств, изображённых на рисунке (6.1.2), однако на суммарном количестве денег это никак не отразится. Поэтому в правой части мы пустые мешки просто опускаем, что собственно можно сделать и в левой части.

Рис. 6.1.2

Вычитание — обратно сложению. В вычитании ничего не значащая по определению цифра - нуль также не считается нарушением свойства бинарности:

Х — 0 = Х + (-0)) и (0 — Х = 0 + (-Х)

Справедливость этих равенств не зависимо от свойства бинарности проиллюстрировано на рисунке (6.1.3).

Рис. 6.1.3

Конечно же, последнее равенство на рисунке (6.1.3) можно представить, как мешок с деньгами со знаком минус или как пустой мешок, что означает долг, т.е. мнимое число (см. Рис. 6.1.4).

Рис. 6.1.4

Однако мнимые числа – это совсем другая тема, которая в настоящей главе не рассматривается. Тем не менее заметим, что мнимое отрицательное число денег долга в пустом мешке количественно равно значащему операнду, т.е. вернуть-то в любом случае надо количество денег, соответствующее полному мешку, что и отражено в последнем равенстве на рисунке (6.1.3). А мнимое отрицательное число в верхнем равенстве на рисунке (6.1.4) или пустой мешок в нижнем равенстве на рисунке (6.1.4) – это всего лишь символическая запись долга, т.е. социального статуса значащего операнда, что никак не влияет на его собственный счёт, т.е. на его собственную внутреннюю сумму.

Во всяком случае обе группы математиков, хотя и по разным причинам, не считают, что пустой нуль нарушает свойство бинарности не зависимо от того, является ли нуль числом или цифрой. А вот саму математику такая кажущаяся идиллия антагонистически настроенных математиков не должна устраивать, т.к. физические противоречия арифметических операций реально существуют, и основаны они на реальном непонимании многими современными математиками физической сущности нуля и действий с ним.

В свете этого непонимания нарушение бинарности в операциях сложения с нулём – это ничто по сравнению с до сих пор официально неразрешёнными противоречиями операций умножения и деления на нуль. Если в операциях сложения (вычитания) ничего не значащее пустое «число» нуль, как ему и положено, действительно не влияет на результат, то в операциях умножения (деления) пустой нуль является настолько значимым, что он один единственный целиком и полностью и определяет их судьбу, несмотря даже на значимые операнды, что противоречит базовой операции сложения (вычитания).

Итак, перейдём к физическому смыслу операций умножения и деления на нуль.

           Умножение. По определению умножение - это сложение одинаковых операндов равных по величине умножаемому в количестве равном множителю, т.е. по своему физическому смыслу операция умножения по определению ничем не должна отличаться от операции базового сложения. Однако в математике это далеко не так. В результате существующей математической операции умножения значащего числа на нуль или умножения нуля на значащее число получается нуль:

Х * 0 = 0 * Х = 0

Можно показать, что если нуль обозначает величину множимого, то формальная, чисто внешняя аналогия с алгоритмом повторяющегося сложения, в котором есть (Х) слагаемых сохраняется:

0 * Х = 0 + 0 + … + 0 = 0

Это является самым распространённым в математике доказательством нулевого результата при умножении на нуль. Однако нетрудно заметить, что это формальное доказательство только умножения нуля на число. Для умножения же числа на нуль (Х * 0) недоступна даже эта формальность, т.к. НЕ повторение слагаемого нуль раз вовсе не соответствует повторению нуля множество раз и соответственно определению операции умножения и базовому сложению. И только потому, что умножение по определению обладает переместительным свойством, формальное доказательство (0 * Х = 0 + 0 + … + 0 = 0) так же формально распространяют и на произведение (Х * 0). Однако формальные доказательства никому ничего не доказывают.

А формальность этого доказательства заключается в следующем. Если предмет действий - значащий операнд, то он тем более существует и без каких-либо действий, отсутствие которых обозначает нулевой множитель. Поэтому в результате умножения на нуль физически на операционном столе должен оставаться значащий операнд (Х * 0 = Х). А вот если в конечном результате он вдруг исчез, то это ни в коем случае не может быть в результате бездействия, что бывает только в сказках. Но математика отражает вовсе не сказки, а реальную действительность, в которой для того, чтобы на операционном столе что-то исчезло необходимо какое-то действие и это ни в коем случае не может быть действием по приумножению, т.е. прибавлению предметов.

Исчезают предметы только при их физическом изъятии, что отражает операция вычитания. Но вычитание – это вовсе не повторяющееся сложение. Правда, некоторые математики не признают операцию вычитания и представляют её в виде сложения с отрицательным числом (Х + (– Х) = 0). Однако (Х) и (-Х) – это разные слагаемые, что противоречит операции умножения, как повторяющемуся сложению именно одинаковых операндов вплоть до знака. Поэтому классическое доказательство (0 * Х = 0), фактически означающее (Х – Х = Х + (– Х) = 0) – неверно. Оно доказывает совсем другую операцию – вычитание, причём не с нулём, а со значимыми операндами.

Бездействие нуля, при умножении с которым в нашей версии получается значимый операнд, на первый взгляд также противоречит определению умножения, как суммы повторяющихся слагаемых, т.к. бездействие нуля оставляет значащий операнд в единственном экземпляре. Однако, как мы показали выше, это не противоречит понятию суммы, как результата счёта, т.е. последнего порядкового номера сквозной нумерации значащего операнда. В этом смысле бездействие умножения с нулём в нашей версии ни чем принципиально не отличается от бездействия базового сложения с нулём.  

И в том, и в другом случае подсчитывается значение только одного значащего операнда, над которым не произведено никаких внешний действий. Однако при этом его внутренний счёт (нумерация) не может быть ликвидирован безо всяких действий, т.е.  фактически по щучьему велению и по хотению математиков. Нужны реальные действия. Следовательно, формальное официальное доказательство умножения на нуль противоречит определению умножения и базовому сложению с нулём. В соответствии с базовым сложением в умножении с нулём также должен подсчитываться только значимый операнд, т.е.:

Х * 0 = Х + 0 = Х

И в том, и в другом случае нуль – это всего лишь пустой мешок, который не влияет на количество значащего операнда. В пустой мешок нельзя поместить значащий операнд не опустошив его собственный мешок. Но тогда общее значение такой операции будет в любом случае равно значащему операнду. Однако поскольку нуль ассоциируется с пустым мешком только образно именно потому, что нуль не имеет вещественного наполнения, то при перестановке сомножителей вещественным наполнителем нулевого мешка по-прежнему остаётся значащий операнд не зависимо от места его записи в операции. При этом меняются только математические названия сомножителей, но не результат операции бездействия со значащим операндом. Это и есть одно из доказательств переместительного свойства умножения в нашей версии:

0 * Х = Х * 0 = Х

Неизменность произведения от перемены мест значимых сомножителей совершенно очевидно следует также из сквозной нумерации базового сложения ячеек одной и той же таблицы, столбцы и строки которой образно представляют собой сомножители. Причём, если строки – это горизонталь, то столбцы – это вертикаль. Поэтому если есть только одна ячейка, то это либо условная строка при нуле столбцов, либо наоборот – условный столбец при нуле строк, т.к. горизонталь не может одновременно быть и вертикалью, даже условно. Следовательно, если все ячейки таблицы расположены по горизонтали, то это всего лишь одна строка при нуле столбцов и наоборот, из чего и будем исхордить далее.

Итак, если есть и то, и другое, то никаких противоречий не возникает. При этом можно осуществлять сквозную нумерацию вдоль строк таблицы хоть с лева направо, хоть с права на лево, последовательно переходя к новой строке, как сверху вниз, так и с низу вверх. Аналогичным образом можно считать и вдоль столбцов. Естественно, что сама таблица, т.е. количество или сумма её ячеек от порядка счёта не изменится. Именно так популярно объясняют детям переместительное свойство умножения представители официальной математики.

Эта безупречная логика в точности соответствует базовому сложению со всеми его свойствами, а также умножению с нулём в нашей версии при наличии либо только вертикали, либо только горизонтали. Ведь таблица не перестаёт быть таблицей, если она состоит только из одного столбца или только из одной строки. При этом общее количество ячеек в такой таблице с одним нулевым сомножителем столбцом или строкой, всегда равно количеству ячеек в значащей строке или столбце, т.е. значащему операнду. Это вполне естественно. Однако это в корне противоречит классической версии умножения на нуль,

В классической версии нулевой множитель не зависимо от того, что он обозначает - отсутствие строк или столбцов убивает сразу всю таблицу. А вместе с ней не только переместительное свойство умножения, но и саму классическую версию умножения с нулём, т.к. количество ячеек таблицы, состоящей хотя бы только из одной строки при отсутствии столбцов или наоборот никогда не равно нулю. В крайнем случае это единица, но никак не нуль. Однако детям эту безупречную логику, принципиально опровергающую классическую версию умножения с нулём, естественно не рассказывают.

 Математики вообще не рассказывают детям про таблицы из одной ячейки, т.к. даже одна ячейка, представляющая столбец при отсутствии строк или наоборот никогда не превращается в нуль. Вместо этого они фактически покакзывают детям цирковые фокусы, подменяя задачу с одним нулевым сомножителем совсем другой задачей с двумя нулевыми сомножителями. Ведь физически нуль в операции умножения может получиться только при полном отсутствии значащих операндов - сомножителей.

Произведение с одним нулевым сомножителем можно действительно УСЛОВНО приравнять к нулю безо всяких фокусов, не нарушая при этом физической основы базового сложения (см. ниже). Но самое удивительное заключается в том, что даже академики от математики не могут сегодня объяснить, что это за условность и для чего она нужна. Потому что математика давно превратилась из языка физики в царицу всех наук. А царям и дуракам, как говорится – закон не писан. Если перефразировать известную поговорку, то у них язык-математика виляет собакой-физикой. Отсюда и все противоречия умножения и деления на нуль со здравым смыслом, а также с базовым сложением и с определениями арифметических операций и нуля.

Кто-то может возразить, что наша версия не менее противоречива, т.к. она фактически приравнивает нуль и единицу. Однако выражении (Х * 0 = Х = Х * 1) вовсе не означает равенства количественных значений нуля и единицы (1 ≠ 0). Равны только результаты операций. И в этом нет никаких противоречий. Оставить всё, как есть при умножении на бездействующий нуль – это абсолютно то же самое, что и оставить то, что есть в единственном экземпляре при умножении на вполне действующую единицу. Даже свойству бинарности и то, и другое противоречит абсолютно одинаково. Однако выше мы показали, что это только кажущееся противоречие.

Приверженцами классической версии умножения с нулём приводятся и другие её доказательства, которые также несостоятельны, т.к. классическая версия умножения с нулём неверна в принципе. Одно из таких доказательств представлено участниками форума на сайте «Элементы» https://elementy.ru//email/1530320/Pochemu_nelzya_delit_na_nol?ofm=1#fm5286028:

Участник VladNSK:

«Для любого n верны следующие выражения:

(n * 2) - (n * 2) = 0, потому что когда из числа отнимаешь его же, то получается ноль. Теперь приведем подобные:

n * (2-2) = 0

n * 0 = 0

Конечно, это не строгое математическое доказательство, а объяснение. Но вы ведь и просили дать объяснение».

Участник Human: 

«А, по-моему, очень даже строго.

Здесь требуется только показать, что (-1) * n= -n, то есть что противоположное к действительному число есть то же самое число, умноженное на "-1", то есть на число, противоположное "1". Я думаю этот факт не вызывает вопросов (как например с делением на нуль). Тогда:

n+(-n) = 0 (определение противоположного числа)

n*1+n*(-1) = 0 (определение единицы и названный выше факт)

n*(1+(-1)) = 0 (дистрибутивность)

Однако VladNSK честно отметил, что это не строгое математическое доказательство. А нестрогое оно именно потому, что классическое умножение на нуль не соответствует базовой операции сложения, которая непосредственно отражает физический счёт (нумерацию) и которая по определению лежит в основе операции умножения. Как мы уже отмечали выше, произведение с одним нулевым сомножителем можно действительно УСЛОВНО приравнять к нулю. Эта условность связана с размерностью физических величин, участвующих в арифметических операциях. Но об этом чуть ниже. А пока покажем несправедливость классической версии умножения на нуль с точки зрения естественного физического счёта при умножении на нуль и единицу.

Далее

 

Категория: Мои статьи | Добавил: aaa2158 (12.11.2015)
Просмотров: 681 | Рейтинг: 1.0/1
Всего комментариев: 0
avatar