MENU
Главная » Статьи » Физика и математика » Мои статьи

Физические ошибки арифметических операций. Операции с нулём

 

Яндекс.Метрика

Прежде чем определить физический смысл арифметических операций уточним существующие понятия:

Операнд - величина, представляемая собой объект операции.

Операции определяют действия, которые надо выполнить над операндами (+, -, ×, :).

Сложение (прибавление) — одна из основных операций (действий) в разных разделах математики, позволяющая объединить два объекта (в простейшем случае — два числа). Более строго сложение — бинарная операция, определённая на некотором множестве, элементы которого мы будем называть числами, при которой двум числовым аргументам (слагаемым) a и b сопоставляется итог (сумма), обычно обозначаемый с помощью знака «плюс»: a + b.

Вычитание - действие, обратное сложению (См. Сложение); задачей В. является определение одного из двух слагаемых, когда даны сумма и другое слагаемое. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое — вычитаемым, результат действия — разностью. В области положительных чисел В. не всегда выполнимо (из меньшего числа нельзя вычесть большее). Это обстоятельство является формальным поводом для введения в арифметику нуля и отрицательных чисел; в расширенной таким образом числовой области В. всегда однозначно выполнимо.

Умножение - операция образования по двум данным объектам а и b, называемым сомножителями, третьего объекта с, называемого произведением. Умножение обозначается знаком «×» (ввёл англ. математик У. Оутред в 1631) или «•» (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а × b или а • b пишут ab. Умножение имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. Умножение целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b третье число с, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а, так что ab = а + а + ... + а (b слагаемых). Число а называется множимым, b – множителем.

Деление - действие, обратное умножению (См. Умножение); заключается в нахождении одного из двух сомножителей, если известны произведение и др. сомножитель. Т. о., разделить а на b — это значит найти такое х, что bx = а или xb = а. Результат Д. х называется частным, или отношением, a и b. Заданное произведение а называется делимым, а заданный множитель b — делителем. Для обозначения Д. употребляют знаки двоеточия (а : b) или горизонтальной (иногда наклонной) черты (a/b).

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте. Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральным рядом. Существуют два подхода к определению натуральных чисел — это числа, возникающие при: подсчёте (нумерации) предметов (первый, второй, третий) или при обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета). В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход.

Нуль - (нем. Null, от латин. nullus - никакой). Арабская цифра, сама по себе, ничего не значащая, но показывающая отсутствие того разряда цифр (в нумерации), на месте которого она стоит (правильнее сказать отсутствие цифр в разряде – авт.); поставленная после значащих цифр обозначает десятки, сотни, тысячи и т. д.

Для простоты будем рассматривать действия с натуральными числами.  

***

В природе количество предметов чего-либо определяется простым добавлением новых предметов в некоторую область пространства, путём их изменения в процессе физико-химических взаимодействий материи, либо в результате её механического движения. При этом определение общего количества предметов в этом пространстве осуществляется путём их нумерации (счёта) с присвоением каждому последующему элементу счёта порядкового номера на единицу большего, чем предыдущий.

Сам процесс счёта – это фактически операция сложения, простейшим слагаемым которого является одна единица счёта, т.е. один предмет нумерации, а суммой фактически называется последний порядковый номер нумерации. Из этого следует, что сколько бы предметов счёта мы не добавляли к уже существующему их количеству либо за один раз, либо за несколько раз и в каком угодно порядке – их общее количество определяется путём сквозной нумерации (подсчёта) предметов или единиц счёта, т.е. путём их последовательного сложения. Это и определяет все свойства сложения.

Все остальные арифметические операции это всего лишь различные алгоритмы того же самого счёта, позволяющие определять количественную взаимосвязь (соотношение) между различными операндами или группами операндов базового сложения (вычитания) в зависимости от физического смысла различных физических величин и их соотношений в соответствии с природными (физическими) законами. Все эти алгоритмы созданы для облегчения определения сквозной нумерации итогового результата арифметических операций, если изначально известна только сквозная нумерация отдельных операндов.

В математике существуют также более сложные математические операции: возведение в степень и извлечение корней, логарифмы и экспоненты. Но все они так или иначе построены на простейших арифметических операциях, т.е. в конечном итоге на базовом сложении (вычитании), что отчётливо выражено в алгоритмах подсчёта их результата столбиком. Есть табличный метод определения сложных операций. Однако таблицы также рассчитаны на основании базовой операции сложения (вычитания).

Таким образом, базовой арифметической операцией, лежащей в основе всех простейших арифметических и более сложных математических операций, является операция сложения (вычитания), физической основой которой является сквозная нумерация или счёт в ту или иную сторону.

Рассмотрим физический смысл простейших арифметических операций на примере операций с нулём, т.к. они не всегда в точности соответствуют официальным определениям арифметических операций и нуля. Это вызывает наибольшее количество вопросов по их физическому смыслу, который в математике до сих пор чётко не обозначен. Мы попытаемся отыскать истинный физический смысл арифметических операций, в том числе и решить извечный вопрос -почему нельзя делить на нуль, если разрешённое умножение на нуль ничем принципиально не отличается от деления на нуль. Итак, обо всём по порядку.

Сложение. По определению общая сумма должна определяться общим счётом (последовательной нумерацией), как минимум двух чисел (свойство бинарности). Однако в случае сложения одного значащего числа с нулём свойство бинарности сложения формально нарушается, т.к. нуль – это не число. Нуль –это цифра (символ), обозначающий отсутствие числа. Тем не менее, вопреки официальному определению сложения, суммой в математике однозначно признаётся даже один единственный значащий операнд (число), о чём свидетельствует существующее сложение (вычитание) с нулём:

0 + Х = Х + 0 = Х

Это выражение нисколько не противоречит естественной нумерации (счёту), несмотря на то, что в нём только один значащий операнд, который по определению сложения слагаемым не является. Один операнд просто не с чем складывать. Однако, даже один операнд сам является суммой самого себя, т.к. он имеет собственную сквозную нумерацию, конечный номер которой и есть его сумма.

А если он один, то его сумма является и общей суммой операции с одним оперрандом. Даже, если единственный операнд представляет собой одну единственную единицу счёта, то и это не нарушает свойство бинарности. Это всего лишь вопрос выбора единиц измерения или масштаба счёта, т.е. суммы.

Таким образом, бинарность в физике - это всего лишь вопрос выбора единиц измерения, а в математике - масштаба единиц счёта.

Некоторые математики не видят нарушения свойства бинарности в операциях сложения с нулём совсем по другой причине. Они считают нуль таким же полноправным числом, как и значащие числа. Однако не меньшее количество математиков так НЕ считают. А поскольку полного согласия в этом вопросе нет, то и то, и другое - это всего лишь личные предпочтения математиков. Однако математика, отражающая реальную физику, не может опираться на личные предпочтения математиков. Поэтому мы будем исходить только из физических соображений.

Число – это не просто второе лингвистическое название, т.е. синоним операнда. Физически любое число отражает количество чего-либо. И хотя официально числа в математике начинаются с десяти, количество заложено во все цифры от 1 до 9, кроме нуля. Нуль – это единственная цифра, символ, обозначающий как раз отсутствие количества по определению. Следовательно, физически, а значит и математически нуль – это не число. Но дело даже не в названии. Даже если назвать нуль числом, то это само по себе не наполнит его количеством. Он так и останется особым, пустым «числом».

Вычитание — обратно сложению:

Х — 0 = Х + (-0)) и (0 — Х = 0 + (-Х)

Как видно, здесь также ничего не значащая по определению цифра - нуль не считается нарушением свойства бинарности, что вполне устраивает разные группы математиков по вопросу принадлежности цифры нуль к числу. А вот саму математику такая кажущаяся идиллия не должна устраивать, т.к. физические противоречия арифметических операций реально существуют, и основаны они на реальном непонимании многими современными математиками физической сущности нуля и действий с ним.

В свете этого непонимания нарушение бинарности в операциях сложения с нулём – это ничто по сравнению с до сих пор официально неразрешёнными противоречиями операций умножения и деления на нуль. Итак, перейдём к физическому смыслу операций умножения и деления на нуль.

           Умножение. По определению умножение - это сложение одинаковых операндов равных по величине умножаемому в количестве равном множителю. В результате существующей математической операции умножения значащего числа на нуль или умножения нуля на значащее число получается нуль:

Х * 0 = 0 * Х = 0

Можно показать, что если нуль обозначает величину множимого, то формальная, чисто внешняя аналогия с алгоритмом сложения, в котором есть (Х) слагаемых сохраняется:

0 * Х = 0 + 0 + … + 0 = 0

Это является самым распространённым в математике доказательством нулевого результата при умножении нуля на число. Однако нетрудно заметить, что это формальное доказательство только умножения нуля на число. Для умножения же числа на нуль (Х * 0) недоступна даже эта формальность, т.к. повторение числа нуль раз вовсе не соответствует повторению нуля множество раз.

 И только потому, что умножение по определению обладает переместительным свойством, то формальное доказательство (0 * Х = 0 + 0 + … + 0 = 0) так же формально распространяют и на произведение (Х * 0). Однако формальные доказательства никому ничего не доказывают. А формальность этого доказательства заключается в следующем.

Если предмет действий - это значащий операнд, то он существует и без каких-либо действий, что и обозначает нулевой множитель. Поэтому в результате умножения на нуль физически должен оставаться значащий операнд (Х * 0 = Х). А вот если в конечном результате он вдруг исчез, то это не может быть в результате бездействия.

Такое бывает только в сказках. Однако математика при помощи символов и знаков отражает вовсе не сказки, а реальную действительность, в которой для того, чтобы на операционном столе что-то исчезло необходимо какое-то действие и это ни в коем случае не может быть действием по приумножению, т.е. прибавлению предметов. Исчезают предметы только при их физическом изъятии, что отражает операция вычитания. Но вычитание – это вовсе не повторяющееся сложение.

Некоторые математики не признают операцию вычитания и представляют её в виде сложения с отрицательным числом (Х + (– Х) = 0). Однако (Х) и (-Х) – это разные слагаемые, что противоречит операции умножения, как повторяющееся сложение именно одинаковых операндов вплоть до знака.

Бездействие нуля также на первый взгляд противоречит определению умножения, как суммы повторяющихся слагаемых, т.к. бездействие нуля оставляет значащий операнд в единственном экземпляре. Однако это не противоречит понятию суммы, как результата счёта, т.е. последнего порядкового номера сквозной нумерации значащего операнда, что было показано выше на примере сложения (вычитания) с нулём.

В этом смысле бездействие сложения с нулём ничем принципиально не отличается от бездействия умножения с нулём. И в том, и в другом случае подсчитывается значение только одного значащего операнда, над которым не произведено никаких внешний действий. Однако при этом его внутренний счёт (нумерация) не может быть ликвидирован по щучьему велению, по математиков хотению.

Тогда неформальное доказательство умножения на нуль, в котором также как и в сложении с нулём подсчитывается сумма только значащего операнда, имеет вид:

Х * 0 = Х + 0 = Х

В обратном порядке операции умножения (0 * Х) множитель (Х) по определению умножения также обозначает число действий сложения, т.е. повторений нуля в виде слагаемых. В этом случае формально действие в виде значащего операнда (Х) вроде бы есть. Однако ничто просто физически невозможно повторить нисколько раз. Ведь нуль – это даже не пустая корзинка для чего-то, которую можно повторить хотя бы, как пустую ёмкость. Нуль - это отсутствие в том числе и самой ёмкости.

Другими словами даже реально обозначенное значащим операндом действие над ничем, абсолютно эквивалентно бездействию над чем-то. Однако и в том и в другом случае само что-то с операционного стола не может исчезнуть по щучьему велению.

Это означает, что результат умножения с нулём не зависимо от того, на каком месте формально записан нулевой множитель, в любом случае равен значащему операнду, т.е. от перемены мест сомножителей произведение не меняется:

0 * Х = Х * 0 = Х

Неизменность произведения от перемены мест значимых сомножителей совершенно очевидно следует из сквозной нумерации базового сложения ячеек одной и той же таблицы, столбцы и строки которой и являются сомножителями. Можно осуществлять сквозную нумерацию вдоль строк таблицы хоть с лева направо, хоть с права на лево, последовательно переходя к новой строке, хоть сверху вниз, хоть с низу вверх. Аналогичным образом можно считать вдоль столбцов. Естественно, что сама таблица, т.е. количество или сумма её ячеек от этого не изменится.

Это уже не наше оригинальное объяснение, которое приведено выше. Именно так популярно объясняют детям переместительное свойство умножения представители официальной математики. И дети верят этой безупречной логике. Ведь дяди-математики кажутся им такими умными. Поэтому они верят им и дальше, когда умные дяди говорят им, что умножение нуля на число и числа на нуль даёт нуль. Однако в этом случае умные дяди уже просто обманывают доверчивых детей, потому что они сами никак не могут понять, что такое логичное табличное объяснение переместительного свойства умножения ставит крест на классической версии умножения с нулём.

Ведь таблица не перестаёт быть таблицей и не исчезает, если она состоит либо только из одного столбца, либо только из одной строки. Это означает, что общее количество ячеек в такой таблице с одним нулевым сомножителем столбцом или строкой всегда равно другому значащему сомножителю, что хорошо согласуется с нашей версией умножения с нулём и понятно даже детям.

А вот в классической математике только один нулевой множитель убивает сразу всю таблицу, а вместе с ней не только переместительное свойство умножения, но и саму классическую версию умножения с нулём, т.к. в отсутствие таблицы НЕ чего не только перемещать, но и умножать.

Как эта глупость происходит не знают даже самые умные дяденьки-математики. Поэтому в этом случае они сами превращаются в детей и лепечут что-то типа – раз нет ни одного слагаемого, то нет и суммы. И дети опять им верят, ведь дяденьки теперь превращаются в ловких фокусников.

Они не говорят детям куда делся значащий сомножитель, а ловко изымают его из начальных условий задачи операции. Но точно в таком же сложении с нулём, в котором тоже нет слагаемых, т.к. один операнд просто не с чем складывать, они не говорят, что раз нет ни одного слагаемого, то нет и суммы. При этом они честно оставляют значащий операнд на операционном столе и называют его суммой.

С таблицей такой фокус не проходит. Если вы уже нарисовали несмываемой краской один столбец или одну строку, которые обозначают значащий операнд, то его уже незаметно не сотрёшь только потому, что вы не можете дорисовать к нему что-то ещё по той простой причине, что больше ничего и нет.

Ни один здравый человек не станет утверждать, что если в таблице присутствует только одна строка или только один столбец, состоящие из ненулевого количества ячеек, то количество ячеек таблицы равно нулю. Остаётся только посчитать результат из одной строки или столбца. Это и есть результат операции умножения с нулём. Однако детям этого не рассказывают, т.к. это разоблачает фокус с классическим умножением на нуль.

Но Бог с ними с детьми. Но себя-то самих зачем обманывать? Ведь при этом математики расписываются в собственной глупости. Они не понимают, что произведение с нулевым сомножителем можно действительно условно приравнять к нулю, но только не при помощи «ловкости рук», а вполне объяснимо физически (см. ниже). Однако даже доктора наук сегодня не могут объяснить сути этой условности. Но без этого объяснения математики противоречат и своим собственным же определениям, и своим собственным же доказательствам, и здравому смыслу.

Кто-то может возразить, что наша версия фактически приравнивает нуль и единицу, т.к. (Х * 0 = Х = Х * 1). Однако это вовсе не означает равенства количественных значений нуля и единицы (1 = 0). Равны только результаты операций. И в этом нет никаких противоречий. Оставить всё, как есть при умножении на нуль – это абсолютно то же самое, что и оставить то, что есть в единственном экземпляре при умножении на единицу.

На примере таблицы это означает оставить как есть в единичном экземпляре строку или столбец. Даже свойству бинарности и то, и другое противоречит абсолютно одинаково. Однако это противоречие мы уже разрешили выше.

Приверженцами классической версии умножения с нулём приводятся и другие её доказательства, которые также несостоятельны, т.к. классическая версия неверна в принципе. Одно из таких доказательств представлено участниками форума на сайте «Элементы» https://elementy.ru//email/1530320/Pochemu_nelzya_delit_na_nol?ofm=1#fm5286028:

Участник VladNSK:

«Для любого n верны следующие выражения:

(n * 2) - (n * 2) = 0, потому что когда из числа отнимаешь его же, то получается ноль. Теперь приведем подобные:

n * (2-2) = 0

n * 0 = 0

Конечно, это не строгое математическое доказательство, а объяснение. Но вы ведь и просили дать объяснение».

Участник Human: 

«А, по-моему, очень даже строго.

Здесь требуется только показать, что (-1) *n=-n, то есть что противоположное к действительному число есть то же самое число, умноженное на "-1", то есть на число, противоположное "1". Я думаю этот факт не вызывает вопросов (как например с делением на нуль). Тогда:

n+(-n) = 0 (определение противоположного числа)

n*1+n*(-1) = 0 (определение единицы и названный выше факт)

n*(1+(-1)) = 0 (дистрибутивность)

Однако VladNSK честно отметил, что это не строгое математическое доказательство. А поскольку он не поясняет почему оно не строгое, мы сделаем это вместо него.

Итак, есть исходное выражение (n n = 0). Обозначим численные множители (коэффициенты) для (n) в общем виде, например, (m). Тогда по версии участников форума якобы получаем:

m * n – m * n = 0

Однако это не строгая математическая запись исходного уравнения, фактически умноженного на (m). По строгим математическим правилам для того, чтобы равенство не изменилось мы должны умножить на (m) ещё и правую часть исходного уравнения. Во всяком случае, мы, как минимум должны иметь хотя бы теоретическую возможность представить в таком же виде и правую часть. В результате получим (m * n – m * n = m * 0).

 

Далее

 

Категория: Мои статьи | Добавил: aaa2158 (12.11.2015)
Просмотров: 522 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar