MENU
Главная » Статьи » Физика и математика » Мои статьи

Динамика вращения твердого тела

Яндекс.Метрика

Классическая физика определяет момент импульса твёрдого тела как скорость изменения некоего произвольного вектора (А), связанного с центром масс тела, т.е. с неинерциальной системой координат относительно инерциальной системы координат. Вычисляя производные для каждой из осей инерциальной системы координат, и применяя их к основному уравнению динамики вращательного движения в уравнении второго закона Ньютона простой механической заменой переменных получают уравнения Эйлера. Для этого производную вектора (А) в инерциальной системе координат (dA/dt) заменяют новой переменной – моментом силы (М), а производную этого же вектора в подвижной системе координат (∂A/∂t), связанной с телом, но в предположении, что, что оси (i', j', k') неподвижны, заменяют новой переменной – моментом импульса (dL/dt)!

Приведём курсивом классический вывод уравнений Эйлера (см. упомянутую выше работу Матвеева А. Н. на стр. 317 – 319.):

Уравнение движения центра масс тела имеет вид:

m * dV0 / dt = m * d ([ω, r0)]) / dt = F

где

r0: радиус–вектор центра масс тела, проведённый из точки его закрепления. Реакции связи включены в (F).

Пусть некоторый вектор (А) задан компонентами относительно системы координат (i', j', k'):

A = i' * dA'x + j' * dA'y + k' * dA'z

С течением времени изменяются компоненты (A'x, A'y, A'z) относительно движущихся осей координат и ориентировка осей координат относительно инерциальной системы отсчёта.

Имеем:

dA / dt = i' * dA'x / dt + j' * dA'y / dt + k' * dA'z / dt +

+ d i' / dt * A'x +d j' / dt * A'y + dk' / dt * A'z

Скорость точки вращающегося тела, радиус–вектор которой (r), равна (dr / dt = [ω, r]). Аналогично, следя за концом вектора (i'), проведённым из точки на оси вращения, находим (d i' /dt = [ω, i']). Такой же вид имеют производные от (j) и (k). Следовательно, ориентировку осей координат с проекциями вектора (А) подвижной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта (d i' / dt * A'x +d j' / dt * A'y + dk' / dt * A'z) можно выразить следующим образом:

i' / dt * A'x +d j' / dt * A'y + dk' / dt * A'z = [ω, i' * A'x] + [ω, j' *  A'y] +

+ [ω, k' * A'z] = ω * [i' * A'x + j' * A'y + k’ * A'z] = [ω, А]

Тогда:

dA / dt = ∂A / ∂t + [ω, A],

где (∂A / ∂t) есть производная от (А), вычисленная в предположении, что оси (i', j', k') неподвижны:

∂A / ∂t = i' * dA'x / dt + j' * dA’y / dt + k' * dA'z / dt

Утверждается, что эта формула справедлива для любых векторов (А). На этом основании после замены переменных, получают следующее выражение:

M = dL / dt + [ω, A]

Принимая во внимание, что (Lx = Ix * ωx), (Ly = Iy * ωy), (Lz = Iz * ωz) последнее выражение, полученное после замены переменных, переписывают в компонентах относительно движущейся системы координат для каждой из осей координат (штрихи опущены):

Ix * ωx  / dt + (Iz Iy) * ωy * ωz = Mx

Iy * ω/ dt + (Ix – Iz) * ωx * ωz = My

Iz * ω/ dt + (Iy – Ix) * ωy * ωx = Mz

Это и есть уравнения Эйлера. Классическая физика утверждает, что эти уравнения всегда позволяют определить вращательное движение тела, закреплённого в одной точке. Однако уравнения Эйлера не отражают физическую реальность, т.к. это есть некорректная попытка смешать в одной общей зависимости одноимённые параметры разных видов вращательного движения по радиусу, которые физически могут существовать только автономно в своих собственных системах отсчёта, определяемых именно своим постоянным во всех отношениях радиусом. В общем результирующем движении нет, и не может быть автономных вращений разных масс, хотя и одного тела, но расположенных на разных радиусах по абсолютной величине и осуществляющихся в разных плоскостях. Они существуют только в соответствии с абстрактными математическими представлениями классической динамики вращательного движения.

Вывод уравнений Эйлера представляет собой обычное дифференцирование уравнения второго закона Ньютона, в котором ускорение представлено как дифференциал скорости (dA / dt). При этом замена переменных произведена на том основании, что второй закон Ньютона якобы является полным физическим аналогом уравнения моментов. Однако, как показано в главе (3) физической аналогии между классической динамикой вращательного движения и динамикой Ньютона нет. Напомним коротко суть этого несоответствия.

Угловое перемещение определяется из внешней точки отсчёта как угловой размер видимой из этой точки длины линейного перемещения. Однако динамика Ньютона, определяющая динамику вращательного движения, не ограничена ни величиной, ни направлением перемещения в пространстве. Поэтому для объективной и однозначной оценки ограниченного 360–ю градусами углового перемещения должны неукоснительно соблюдаться три условия:

 

1. Линейное движение тела должно осуществляться на постоянном фиксированном расстоянии от точки отсчёта, т.к. радиальное движение искажает угловой размер даже неизменной линейной траектории.

2.  Угловое перемещение определяется из внешней точки наблюдения между двумя направлениями на точки изменяющегося положения центра масс движущегося тела. Это означает, что вместе с точкой отсчёта угловое перемещение определяется тремя точками, через которые одновременно можно провести только одну плоскость. Следовательно, для однозначного определения углового перемещения вращательное движение точки должно осуществляться только в одной плоскости.

3.  Первое условие может соблюдаться только при движении тела по окружности, в котором обеспечивается равновесие центробежной и центростремительной силы. В неравномерном движении по окружности с постоянным радиусом это равновесие так же соблюдается только каждый раз на новом энергетическом уровне (см. гл. 7.3).

 

Перечисленные выше условия могут соблюдаться только относительно вполне определённой точки отсчёта, с которой движущееся тело связано физически либо жесткой механической, либо полевой связью. Третье условие является следствием из первых двух. Однако физически первые два условия обеспечиваются именно третьим условием, т.к. нельзя достоверно определить динамику движения, если исключается его физическая основа – точка его отсчёта.

Именно эти три условия и определяют, как само вращательное движение, так и его динамику. Никакой динамики вращательного движения с переменным радиусом относительно произвольной точки отсчёта и с переменной плоскостью его вращения не может быть в принципе. Радиус это только безразмерный коэффициент связи углового перемещения с линейным. Поэтому динамика вращательного движения может корректно описывать только динамику переменного окружного движения, физически привязанного к постоянному по абсолютной величине радиусу и к постоянной плоскости вращения.

В выводе уравнений Эйлера тело жестко связано с подвижной системой отсчёта, в которой плоскость предполагаемого вращения не изменяется. Следовательно, вектор (А) относительно осей подвижной системы координат можно условно сопоставить с моментом импульса, но только, если его изменения по абсолютной величине обусловлены изменением только параметров динамики окружного движения и не связаны с изменением длины радиуса. Однако в выводе Эйлера эти условия не соблюдаются.

Кроме того, у Эйлера есть ещё и проекции вектора (А) на оси неподвижной инерциальной системы координат, которые в любом случае нарушают три обязательных условия для динамики вращательного движения, что приводит к искажению реальной действительности. Причём в этом нет никакого противоречия с подобным использованием проекций Ньютоновских векторов исходного второго закона Ньютона.

Проецирование линейного движения на оси системы координат в Ньютоновской динамике это фактически оценка линейного движения со стороны, т.к. с реальным перемещением связано только его движение по фактической траектории. Однако в Ньютоновской динамике эти проекции применяются для достоверного определения исходного реального движения. А вот проекции векторов вращательного движения на любые оси, физически не связанные с вращательным движением это очередной абсурд классической физики.

Как отмечалось выше, вектора моментов вращательного движения и его угловой скорости уже сами по себе являются, оценкой вращательного движения из внешней точки, т.е. со стороны. Следовательно, в этом смысле они сами подобны виртуальным проекциям реального движения. Но голая геометрия проекции проекций не отражает реальную действительность. Поэтому в динамике Ньютона проекции проекций запрещены (см. гл. 3.5). Однако это не мешает классической физике применять такое некорректное проецирование в динамике вращательного движения.

Кроме того, вектора вращательного движения в отличие от Ньютоновских векторов не отражают никакого реального силового воздействия или движения в своём направлении. Их единственной физической основой является их физическая связь с осью именно своего вращения в соответствии с третьим условием, которое одновременно является физической основой первых двух условий. Поэтому оценка вращательного движения со стороны любых других не связанных со своим вращением осей, на которые их проецирует Эйлер и классическая физика грубо нарушает три перечисленных выше условия вращательного движения.

Любое линейное движение осуществляется под действием одной единственной результирующей силы. Это особенно актуально для криволинейного движения, в котором результирующая сила обобщает не просто ортогональные составляющие, а множество сил в произвольных направлениях. Когда результирующая сила от множества источников уже полностью сформирована, то физически на тело действует только одна сила. При этом все остальные силы как бы сливаются в едином источнике результирующей силы в одну силу. Но даже в этом случае реальную результирующую силу в динамике Ньютона можно оценить по её проекциям, условно допустив и измерив, ортогональные источники силы.

В динамике вращательного движения эта условность не соответствует реальной действительности. Например, классическая физика допускает располагать ось вращательного движения произвольно, не привязывая её к реальному вращательному движению физически, т.е. это только наблюдательная ось, с которой можно только наблюдать чужое движение.

При этом абстрактное угловое перемещение относительно произвольно выбранной оси можно определить и при движении тела по прямолинейной траектории и даже направить вдоль этой оси моменты. Однако прямая линия имеет бесконечный радиус. Поэтому такой момент фактически будет равен бесконечности, а угловая скорость движения по прямой линии фактически равна нулю, что не совпадает с абстрактными угловыми параметрами при движении вдоль прямой при их оценке со стороны.

На коротком отрезке траектории в минимальном интервале времени (dt) расстояние до прямолинейной траектории классическая физика принимает за конечный радиус и далее определяет все остальные параметры динамики такого псевдо вращения. Однако никакого вращательного движения при перемещении по прямой линии физически нет. Более того, в соответствии с классической динамикой вращательного движения ось и моменты могут располагаться даже с обратной стороны кривизны, что в частности проявляется при проецировании реальной кривой линии на оси прямоугольной системы координат.

При этом вместо того, чтобы подобно динамике Ньютона восстанавливать по этим проекциям реальные движение Эйлер осуществляет обратный процесс. Из полученных проекций он спокойно вычисляет параметры такого с позволения сказать либо прямолинейного, либо обратно–криволинейного вращения. Причём последнее теоретически должно иметь даже не нулевую кривизну и бесконечный радиус, как при движении по прямой линии, а отрицательную кривизну и отрицательный радиус! Однако прямолинейные и обратно–криволинейные виртуальные вращения Эйлера не имеют ничего общего с вращением ни по определению, ни физически!

Если в динамике Ньютона виртуальные проекции векторов реального физического перемещения в пространстве самого тела на ортогональные оси хотя бы отражают относительное линейное движение, то относительного вращения в природе не существует. Даже со стороны вращательное движение может быть косвенно оценено как вращение относительно своего же реального центра, т.е. вращение в своей собственной абсолютной системе координат. А вращения в одной плоскости относительно совпадающих в пространстве центров, но имеющие свою собственную физическую связь с центром – это индивидуальные вращения, но не одно общее вращение.

Поскольку всякая теория подкрепляется только опытом, покажем на конкретном примере, что из виртуальных проекций Эйлера в общем случае невозможно получить достоверные параметры динамики вращательного движения ни по направлению, ни по абсолютной величине. Рассмотрим для простоты динамику вращения твёрдого тела в виде плоского диска, изображённого на рисунке (4.7.1.1). На рисунке (4.7.1.1) показаны суммарные вращения диска по двум методам: по правилам классической динамики вращательного движения, т.е. складываются моменты якобы самостоятельных вращений вдоль главных осей; и второе в соответствии с базовой динамикой Ньютона, когда сначала находятся результирующие всех действующих сил, а затем вызванный ими результирующий момент.

Далее

Категория: Мои статьи | Добавил: aaa2158 (20.03.2017)
Просмотров: 484 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar